1. Para manter inteira uma laje de concreto, muitas vezes é colocada madeira entre as fendas. As variações de temperatura entre período de inverno e verão são de -10^{\circ} \mathrm{C} e 35^{\circ} \mathrm{C}. Se a laje tem um comprimento de 10 m na temperatura do inverno, quanto aumenta o comprimento no verão? \alpha=1,0 \times 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}.

Passo 1

Vou listar claramente os dados que o enunciado fornece e o que ele pede.
  • Comprimento da laje no inverno: L_0=10\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura no inverno: T_{\text{inverno}}=-10^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura no verão: T_{\text{verão}}=35^\circ\mathrm{C}ã.
  • Coeficiente de dilatação linear: \alpha=1,0\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
O que o enunciado pede: quanto aumenta o comprimento da laje no verão em relação ao comprimento no inverno, isto é, calcular \Delta L.

Passo 2

Explicação da fórmula que vamos usar (a ideia física por trás dela).
  • Para pequenas variações de temperatura, a dilatação linear de um material é dada pela fórmula
\Delta L = \alpha L_0 \Delta T,
onde:
  • \Delta L é o aumento de comprimento (em metros);
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear (unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1});
  • L_0 é o comprimento inicial (em metros);
  • \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}), definida como T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}.
Breve derivação (opcional, para fixar): \alpha é definido por \alpha=\dfrac{1}{L}\dfrac{dL}{dT}. Se \alpha é aproximadamente constante, integrar dá L=L_0(1+\alpha\Delta T), e portanto \Delta L=L-L_0=\alpha L_0\Delta T. Essa é a fórmula que usamos.

Passo 3

Calcular a variação de temperatura \Delta T.
\Delta T = T_{\text{verão}} - T_{\text{inverno}} = 35^\circ\mathrm{C} - (-10^\circ\mathrm{C}) = 45^\circ\mathrm{C}.ã

Passo 4

Substituir os valores na fórmula e calcular passo a passo, sem pular etapas.
\Delta L = \alpha L_0 \Delta T = \left(1,0\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}\right)\cdot\left(10\\ \mathrm{m}\right)\cdot\left(45^\circ\mathrm{C}\right).
Primeiro multiplicando \alpha por L_0:
1,0\times10^{-5}\times 10 = 1,0\times10^{-4}.
Agora multiplicando por \Delta T:
\Delta L = \left(1,0\times10^{-4}\right)\times 45 = 4,5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Converter o resultado para milímetros (mais prático para visualizar pequenas dilatações).
Sabendo que 1\\ \mathrm{m}=1000\\ \mathrm{mm},
\Delta L = 4,5\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 4,5\\ \mathrm{mm}.
Interpretação rápida e dica para prova: a laje de 10\\ \mathrm{m} aumenta 4,5\\ \mathrm{mm} quando a temperatura sobe de -10^\circ\mathrm{C} para 35^\circ\mathrm{C}. Na prova, sempre confirme a variação de temperatura e as unidades antes de aplicar \Delta L=\alpha L_0\Delta T.

Resposta

\Delta L = 4,5\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 4,5\\ \mathrm{mm}

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