Óleo a 20^{\circ} \mathrm{C}\left(\rho=888 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right. e
\left.\mu=0,800 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}\right)) está fluindo continuamente através de um tubo de 5 cm de diâmetro e 40 m de comprimento. As pressões na entrada e na saída do tubo foram medidas em 745 e 97 kPa , respectivamente. Verifique também se o fluxo através do tubo é laminar.
Determine a vazão de óleo através do tubo, assumindo que o tubo está horizontal

Passo 1

O enunciado dá as pressões de entrada e saída num tubo horizontal e pede a vazão de óleo e verificação se o escoamento é laminar. Dados fornecidos (vou listar todos, com unidades):
\text{diâmetro } D = 0{,}05\\ \mathrm{m}â
\text{comprimento } L = 40\\ \mathrm{m}
P_{\text{in}} = 745\\ \mathrm{kPa}
P_{\text{out}} = 97\\ \mathrm{kPa}
\text{densidade } \rho = 888\\ \mathrm{kg/m^3}
\text{viscosidade dinâmica } \mu = 0{,}800\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}â
O que se pede:
  • Determinar a vazão volumétrica de óleo através do tubo (assumindo escoamento estacionário e tubo horizontal).
  • Verificar se o escoamento é laminar.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (sem começar a calcular ainda): como temos um tubo circular longo com diferença de pressão conhecida e fluido viscoso, uma forma direta e clássica de obter a vazão no caso laminar é usar a fórmula de Hagen–Poiseuille para escoamento laminar totalmente desenvolvido em um tubo circular. Vou usar essa fórmula porque:
  • Ela dá diretamente a relação entre queda de pressão, propriedades do fluido, geometria do tubo e vazão volumétrica.
  • É a abordagem mais simples quando o escoamento é laminar. Como não sabemos a priori se é laminar, depois calculamos o número de Reynolds com a velocidade média obtida e confirmamos a hipótese. Se a hipótese falhar, teríamos que resolver de outra forma (núcleo turbulento), mas provavelmente neste caso a viscosidade alta sugere Re pequeno.

Passo 3

Apresentação e explicação da fórmula usada (Hagen–Poiseuille). A fórmula para a vazão volumétrica \;Q\; em um tubo circular, para escoamento laminar e plenamente desenvolvido, é:
Q = \frac{\pi\,\Delta P\,D^{4}}{128\,\mu\,L}
onde:
  • \Delta P = P_{\text{in}} - P_{\text{out}} é a queda de pressão ao longo do comprimento L (em Pa);
  • \;D\; é o diâmetro interno do tubo (m);
  • \;\mu\; é a viscosidade dinâmica do fluido (kg/(m·s));
  • \;L\; é o comprimento do tubo (m);
  • \pi é a constante 3,14159…
    Rápida intuição física: a pressão empurra o fluido, a viscosidade resiste; o termo D^4 mostra que vazão aumenta fortemente com o diâmetro.

Passo 4

Cálculo da queda de pressão \Delta P em unidades SI:
\Delta P = 745\\ \mathrm{kPa} - 97\\ \mathrm{kPa} = 648\\ \mathrm{kPa} = 648000\\ \mathrm{Pa}.
Agora aplico a fórmula de Hagen–Poiseuille. Primeiro calculo D^4:
D^4 = (0{,}05\\ \mathrm{m})^4 = 6{,}25\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^4}.
Calculando o numerador:
\pi\,\Delta P\,D^{4} = \pi \times 648000\\ \mathrm{Pa} \times 6{,}25\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^4} = \pi \times 4{,}05 \approx 12{,}7279.
Calculando o denominador:
128\,\mu\,L = 128 \times 0{,}800\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)} \times 40\\ \mathrm{m} = 4096.
Portanto a vazão é:
Q = \frac{12{,}7279}{4096}\\ \mathrm{m^3/s} \approx 0{,}0031067\\ \mathrm{m^3/s}.
Para facilitar leitura comum, converto para litros por segundo:
Q \approx 0{,}0031067\\ \mathrm{m^3/s} \times 1000\\ \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{m^3}} = 3{,}1067\\ \mathrm{L/s}.
Também, se quiser em \mathrm{m^3/h}:
Q \approx 0{,}0031067\\ \mathrm{m^3/s} \times 3600\\ \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{h}} \approx 11{,}184\\ \mathrm{m^3/h}.

Passo 5

Calcular a velocidade média V no tubo a partir de Q. Área da seção transversal:
A = \frac{\pi D^{2}}{4} = \frac{\pi (0{,}05)^2}{4} = \frac{\pi \times 0{,}0025}{4} = \frac{\pi \times 0{,}0025}{4} \text{ (mas é mais direto usar }V=\frac{4Q}{\pi D^2}\text{).}é
Velocidade média:
V = \frac{4Q}{\pi D^{2}} = \frac{4\times 0{,}0031067}{\pi \times 0{,}0025} \approx 1{,}5827\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular o número de Reynolds para verificar regime de escoamento. Fórmula:
\mathrm{Re} = \frac{\rho V D}{\mu}.
Substituindo os valores:
\mathrm{Re} = \frac{888\\ \mathrm{kg/m^3} \times 1{,}5827\\ \mathrm{m/s} \times 0{,}05\\ \mathrm{m}}{0{,}800\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}}.
Cálculo passo a passo:
\rho V D = 888 \times 1{,}5827 \times 0{,}05 \approx 70{,}28,
\mathrm{Re} \approx \frac{70{,}28}{0{,}8} \approx 87{,}85.
Interpretação: o critério usual é que escoamento em tubo circular é laminar se \mathrm{Re} \lesssim 2300. Aqui \mathrm{Re}\approx 88 é muito menor que 2300, portanto o escoamento é laminar e o uso da fórmula de Hagen–Poiseuille estava adequado.

Passo 7

Verificação extra (consistência): para escoamento laminar o fator de atrito de Darcy é \;f=64/\mathrm{Re}\;. Com \mathrm{Re}\approx 88 temos f\approx 0{,}727. Esse valor é alto, coerente com um escoamento altamente viscoso e de baixa Re — tudo consistente com os resultados acima.

Resposta

Q \approx 0{,}0031067\\ \mathrm{m^3/s} = 3{,}1067\\ \mathrm{L/s} = 11{,}184\\ \mathrm{m^3/h}
Escoamento: laminar ( \mathrm{Re}\approx 88 < 2300).

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