Óleo a
e
\left.\mu=0,800 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}\right)) está fluindo continuamente através de um tubo de 5 cm de diâmetro e 40 m de comprimento. As pressões na entrada e na saída do tubo foram medidas em 745 e 97 kPa , respectivamente. Verifique também se o fluxo através do tubo é laminar.
Determine a vazão de óleo através do tubo, assumindo que o tubo está inclinado
para cima
\left.\mu=0,800 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}\right)) está fluindo continuamente através de um tubo de 5 cm de diâmetro e 40 m de comprimento. As pressões na entrada e na saída do tubo foram medidas em 745 e 97 kPa , respectivamente. Verifique também se o fluxo através do tubo é laminar.
Determine a vazão de óleo através do tubo, assumindo que o tubo está inclinado
Passo 1
Identificar o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
O que nos pedem:
- Determinar a vazão volumétrica do óleo através do tubo (assumir escoamento contínuo e estacionário).
- Verificar se o fluxo é laminar.
Observação: o enunciado pede também a verificação de laminaridade — portanto vamos calcular o número de Reynolds e comparar com o limiar
.
Passo 2
Escolher e expor o método físico e a equação fundamental que relaciona pressão e vazão.
Explicação didática curta: em escoamento incompressível e estacionário por um tubo reto, a diferença de pressão entre entrada e saída deve vencer duas contribuições principais: perda por atrito (devido à viscosidade) e a variação de pressão associada à diferença de altura (peso do fluido quando o tubo está inclinado). A equação que usamos é a forma de energia entre entrada e saída (ou a fórmula de Darcy–Weisbach para perda por atrito), escrevendo a queda de pressão total:
onde
é o acréscimo de pressão necessário para elevar a coluna de fluido ao longo do tubo inclinado (para cima) e
é a queda de pressão por atrito ao longo do tubo.
A perda por atrito segundo Darcy–Weisbach é
onde
é o fator de atrito (adimensional) e
é a velocidade média do fluido no tubo.
Passo 3
Relacionar o fator de atrito
com o número de Reynolds no caso laminar e manipular algebricamente para obter
.
Explicação didática: para escoamento laminar em tubo circular, existe uma relação simples conhecida e muito usada:
onde o número de Reynolds é
Substituindo
em
obtemos uma expressão que será linear em
. Vamos fazer a substituição:
Começamos com
Substituindo
(porque
), temos
Simplificando (observe que
cancela e uma potência de
também), obtemos
Portanto a equação principal fica linear em
:
Agora isolamos
:
Comentário prático: essa forma linear ocorre porque, para escoamento laminar,
, e o termo
combinado com
dá um termo proporcional a
.
Passo 4
Calcular a diferença de pressão disponível para vencer o atrito, subtraindo a contribuição gravitacional.
Primeiro a diferença de pressão entre entrada e saída:
Agora a contribuição gravitacional (tomando a inclinação para cima; este termo reduz a parte disponível para vencer o atrito):
Calculemos
. Então
Logo a pressão disponível para o atrito é
Passo 5
Calcular a velocidade média
usando a fórmula obtida no Passo 3.
Reescrevendo a fórmula:
Agora substituímos os valores (atenção às unidades):
Portanto
Comentário: arredondando com 3 dígitos significativos,
.
Passo 6
Calcular a vazão volumétrica
a partir de
e da área da seção transversal.
Área da seção circular:
Vazão volumétrica:
Conversões úteis:
ou em
:
Passo 7
Verificar a condição de laminaridade calculando o número de Reynolds.
O número de Reynolds é
Substituindo os valores:
Calculando passo a passo:
;
; dividindo por
dá
Comparação com o critério usual: fluxo em tubo é considerado laminar se
. Como
, o escoamento é definitivamente laminar. Portanto a hipótese usada (fórmula
) é consistente.
Passo 8
Comentário final e verificação de consistência.
- Obtivemos um
muito pequeno, o que justifica totalmente o uso da fórmula laminar . - As unidades foram verificadas ao longo dos cálculos e os valores numéricos são consistentes.
- Apresentei também a vazão em três unidades comuns para facilitar sua leitura.
Resposta
Vazão volumétrica
(≈
, ≈
).
Fluxo é laminar: sim; .
Fluxo é laminar: sim;