Óleo a 20^{\circ} \mathrm{C}\left(\rho=888 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right. e
\left.\mu=0,800 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}\right)) está fluindo continuamente através de um tubo de 5 cm de diâmetro e 40 m de comprimento. As pressões na entrada e na saída do tubo foram medidas em 745 e 97 kPa , respectivamente. Verifique também se o fluxo através do tubo é laminar.
Determine a vazão de óleo através do tubo, assumindo que o tubo está inclinado 15^{\circ} para cima

Passo 1

Identificar o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Pressão na entrada: } p_1 = 745\\ \mathrm{kPa} = 745\,000\\ \mathrm{Pa},\\\ &\text{Pressão na saída: } p_2 = 97\\ \mathrm{kPa} = 97\,000\\ \mathrm{Pa},\\\ &\text{Diâmetro do tubo: } D = 5\\ \mathrm{cm} = 0,05\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Comprimento do tubo: } L = 40\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Densidade do óleo: } \rho = 888\\ \mathrm{kg/m^3},\\\ &\text{Viscosidade dinâmica: } \mu = 0,800\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)},\\\ &\text{Inclinação: } \theta = 15^\circ \text{ (para cima)},\\\ &\text{gravidade: } g = 9,81\\ \mathrm{m/s^2}. \end{aligned}ããíâóâçã
O que nos pedem:
  • Determinar a vazão volumétrica do óleo através do tubo (assumir escoamento contínuo e estacionário).
  • Verificar se o fluxo é laminar.
Observação: o enunciado pede também a verificação de laminaridade — portanto vamos calcular o número de Reynolds e comparar com o limiar Re=2300.

Passo 2

Escolher e expor o método físico e a equação fundamental que relaciona pressão e vazão.
Explicação didática curta: em escoamento incompressível e estacionário por um tubo reto, a diferença de pressão entre entrada e saída deve vencer duas contribuições principais: perda por atrito (devido à viscosidade) e a variação de pressão associada à diferença de altura (peso do fluido quando o tubo está inclinado). A equação que usamos é a forma de energia entre entrada e saída (ou a fórmula de Darcy–Weisbach para perda por atrito), escrevendo a queda de pressão total:
p_1-p_2 = \rho g L \sin\theta + \Delta p_{\text{atrito}},
onde \rho g L\sin\theta é o acréscimo de pressão necessário para elevar a coluna de fluido ao longo do tubo inclinado (para cima) e \Delta p_{\text{atrito}} é a queda de pressão por atrito ao longo do tubo.
A perda por atrito segundo Darcy–Weisbach é
\Delta p_{\text{atrito}} = f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho v^2}{2},
onde f é o fator de atrito (adimensional) e v é a velocidade média do fluido no tubo.

Passo 3

Relacionar o fator de atrito f com o número de Reynolds no caso laminar e manipular algebricamente para obter v.
Explicação didática: para escoamento laminar em tubo circular, existe uma relação simples conhecida e muito usada:
f = \frac{64}{Re},
onde o número de Reynolds é
Re = \frac{\rho v D}{\mu}.
Substituindo f em \Delta p_{\text{atrito}} obtemos uma expressão que será linear em v. Vamos fazer a substituição:
Começamos com
p_1-p_2 = \rho g L \sin\theta + f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho v^2}{2}.
Substituindo f=\dfrac{64}{Re}=\dfrac{64\mu}{\rho v D} (porque Re=\dfrac{\rho v D}{\mu}), temos
\Delta p_{\text{atrito}} = \frac{64\mu}{\rho v D}\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{\rho v^2}{2}.
Simplificando (observe que \rho cancela e uma potência de v também), obtemos
\Delta p_{\text{atrito}} = 32\,\mu\,\frac{L}{D^2}\,v.
Portanto a equação principal fica linear em v:
p_1-p_2 = \rho g L \sin\theta + 32\,\mu\,\frac{L}{D^2}\,v.
Agora isolamos v:
v = \frac{\bigl(p_1-p_2\bigr) - \rho g L \sin\theta}{32\,\mu\,\dfrac{L}{D^2}} = \frac{\bigl(p_1-p_2\bigr) - \rho g L \sin\theta}{32\mu}\cdot\frac{D^2}{L}.
Comentário prático: essa forma linear ocorre porque, para escoamento laminar, f\propto 1/Re \propto 1/v, e o termo \rho v^2 combinado com 1/v dá um termo proporcional a v.

Passo 4

Calcular a diferença de pressão disponível para vencer o atrito, subtraindo a contribuição gravitacional.
Primeiro a diferença de pressão entre entrada e saída:
\Delta p = p_1-p_2 = 745\,000 - 97\,000 = 648\,000\\ \mathrm{Pa}.
Agora a contribuição gravitacional (tomando a inclinação para cima; este termo reduz a parte disponível para vencer o atrito):
\rho g L \sin\theta = 888\cdot 9{,}81\cdot 40 \cdot \sin(15^\circ).
Calculemos \sin(15^\circ)\approx 0{,}258819. Então
\rho g L \sin\theta \approx 888\cdot 9{,}81\cdot 40\cdot 0{,}258819 \approx 90\,188\\ \mathrm{Pa}.
Logo a pressão disponível para o atrito é
\Delta p_{\text{disponível}} = \Delta p - \rho g L \sin\theta \approx 648\,000 - 90\,188 = 557\,812\\ \mathrm{Pa}.í

Passo 5

Calcular a velocidade média v usando a fórmula obtida no Passo 3.
Reescrevendo a fórmula:
v = \frac{\Delta p_{\text{disponível}}\;D^2}{32\,\mu\,L}.í
Agora substituímos os valores (atenção às unidades):
\begin{aligned} D^2 &= (0{,}05)^2 = 0{,}0025\\ \mathrm{m^2},\\\\ 32\,\mu\,L &= 32\cdot 0{,}800\cdot 40 = 1024\\ \mathrm{(kg/(m\cdot s))\cdot m} = 1024\\ \mathrm{kg/s}. \end{aligned}
Portanto
v \approx \frac{557\,812\cdot 0{,}0025}{1024} = \frac{1\,394{,}53}{1024} \approx 1{,}3616\\ \mathrm{m/s}.
Comentário: arredondando com 3 dígitos significativos, v\approx 1{,}36\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular a vazão volumétrica Q a partir de v e da área da seção transversal.
Área da seção circular:
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi\cdot 0{,}0025}{4} = \pi\cdot 0{,}000625 \approx 0{,}0019635\\ \mathrm{m^2}.
Vazão volumétrica:
Q = v A \approx 1{,}3616\cdot 0{,}0019635 \approx 0{,}002672\\ \mathrm{m^3/s}.
Conversões úteis:
Q\approx 0{,}002672\\ \mathrm{m^3/s} \approx 2{,}672\\ \mathrm{L/s},
ou em \mathrm{m^3/h}:
Q\cdot 3600 \approx 0{,}002672\cdot 3600 \approx 9{,}62\\ \mathrm{m^3/h}.

Passo 7

Verificar a condição de laminaridade calculando o número de Reynolds.
O número de Reynolds é
Re = \frac{\rho v D}{\mu}.
Substituindo os valores:
Re \approx \frac{888\cdot 1{,}3616\cdot 0{,}05}{0{,}800}.
Calculando passo a passo: 888\cdot 0{,}05 = 44{,}4; 44{,}4\cdot 1{,}3616 \approx 60{,}46; dividindo por 0{,}800
Re \approx 75{,}6.
Comparação com o critério usual: fluxo em tubo é considerado laminar se Re \lesssim 2300. Como Re\approx 75{,}6\ll 2300, o escoamento é definitivamente laminar. Portanto a hipótese usada (fórmula f=64/Re) é consistente.

Passo 8

Comentário final e verificação de consistência.
  • Obtivemos um Re muito pequeno, o que justifica totalmente o uso da fórmula laminar f=64/Re.
  • As unidades foram verificadas ao longo dos cálculos e os valores numéricos são consistentes.
  • Apresentei também a vazão em três unidades comuns para facilitar sua leitura.

Resposta

Vazão volumétrica Q \approx 0{,}002672\\ \mathrm{m^3/s} (≈ 2{,}672\\ \mathrm{L/s}, ≈ 9{,}62\\ \mathrm{m^3/h}).
Fluxo é laminar: sim; Re \approx 75{,}6 < 2300.

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