Óleo escoa sobre uma placa plana com velocidade de corrente livre de 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine F_{D} na placa lisa. Dados: \rho=890 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mu=3,40 \times 10^{-3} P a . s ; b=1 \mathrm{~m} ; L=2 \mathrm{~m}. Verifique o regime de escoamento, comparando F_{D} com o caso laminar, e encontre x_{c}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  1. Determinar a força de arrasto F_{D} sobre a placa lisa de comprimento L e largura b, quando o escoamento livre tem velocidade U_{\infty}=20\\ \mathrm{m/s}.
  2. Verificar o regime de escoamento (se é laminar, turbulento ou misto), comparando F_{D} obtido com o caso totalmente laminar.
  3. Encontrar a posição de transição x_{c} (onde o escoamento muda de laminar para turbulento).
Dados fornecidos (vou listar exatamente os números do enunciado):
\rho = 890\\ \mathrm{kg/m^{3}},\qquad \mu = 3{,}40\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s},
b = 1\\ \mathrm{m},\qquad L = 2\\ \mathrm{m},\qquad U_{\infty}=20\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Primeiro preciso calcular a viscosidade cinemática \nu, porque as fórmulas de Reynolds usam \nu. A definição é
\nu=\frac{\mu}{\rho},
onde \mu é a viscosidade dinâmica (Pa·s) e \rho é a densidade (kg/m³). Substituindo:
\nu=\frac{3{,}40\times 10^{-3}}{890}=3{,}82\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
Explico rápido: \nu mede a “difusão” de momento; quanto menor \nu, mais facilmente o escoamento se torna turbulento para um dado comprimento e velocidade.
Com \nu posso calcular o número de Reynolds baseado em L, que é
\mathrm{Re}_{L}=\frac{U_{\infty}L}{\nu}.
Substituindo os números:
\mathrm{Re}_{L}=\frac{20\cdot 2}{3{,}82\times 10^{-6}}=1{,}05\times 10^{7}.
Interpretação curta: \mathrm{Re}_{L} é grande ( \sim 10^{7}), portanto a camada limite ao longo da placa vai, na prática, ter transição para turbulência em algum ponto x_{c}\ll L.

Passo 3

Agora achar x_{c}. Convenção usual em problemas de placa plana é tomar a transição quando \mathrm{Re}_{x}=\mathrm{Re}_{\text{crit}} com \mathrm{Re}_{\text{crit}}\approx 5\times 10^{5} (valor clássico para placa lisa em escoamento sem perturbações fortes). A relação é
\mathrm{Re}_{x}=\frac{U_{\infty}x}{\nu},\quad\text{logo}\quad x_{c}=\frac{\mathrm{Re}_{\text{crit}}\\ \nu}{U_{\infty}}.
Substituindo:
x_{c}=\frac{5\times 10^{5}\cdot 3{,}82\times 10^{-6}}{20}=9{,}55\times 10^{-2}\\ \mathrm{m}=0{,}0955\\ \mathrm{m}.
Comentário amigo: ou seja, a placa fica laminar nos primeiros \approx 9{,}6\\ \mathrm{cm} e depois passa para turbulento — dado que L=2\\ \mathrm{m}, a maior parte da placa terá camada-limite turbulenta.

Passo 4

Agora precisamos da fórmula que liga o atrito (coeficiente de atrito de parede) ao arrasto. Definição útil:
  • O esforço de cisalhamento na parede é \tau_{w}.
  • O coeficiente de atrito local é definido por \displaystyle C_{f,x}=\frac{2\tau_{w}}{\rho U_{\infty}^{2}}.
  • A força de arrasto total sobre uma faixa b\,dx é dF=\tau_{w} b\,dx. Integrando ao longo do comprimento, obtemos
F_{D}=\int_{0}^{L}\tau_{w} b\,dx=\frac{1}{2}\rho U_{\infty}^{2} b\int_{0}^{L} C_{f,x}\,dx.
Ou seja, basta conhecer C_{f,x} ao longo da placa e integrar.
As expressões empíricas clássicas (que costumam aparecer em provas) são:
  • Para camada-limite laminar (Blasius, para escoamento pouco perturbado):
C_{f,x}^{\text{lam}}=0{,}664\\ \mathrm{Re}_{x}^{-1/2}.
  • Para camada-limite turbulenta (regra empírica de potência, válida em intervalos relevantes):
C_{f,x}^{\text{turb}}=0{,}0592\\ \mathrm{Re}_{x}^{-1/5}.
Também é usada frequentemente a forma média sobre 0 a L para totalmente turbulento:
\overline{C_{f}}^{\text{turb}}=0{,}074\\ \mathrm{Re}_{L}^{-1/5},
mas aqui faremos a conta com a região laminar até x_{c} e a turbulenta de x_{c} até L (método mais correto para placa com transição).

Passo 5

Calcular a contribuição da região laminar ( 0\le x\le x_{c}). Temos
\int_{0}^{x_{c}} C_{f,x}^{\text{lam}}\,dx = \int_{0}^{x_{c}} 0{,}664\left(\frac{U_{\infty}x}{\nu}\right)^{-1/2}dx =0{,}664\left(\frac{U_{\infty}}{\nu}\right)^{-1/2}\int_{0}^{x_{c}} x^{-1/2}dx.
A integral \int_{0}^{x_{c}} x^{-1/2}dx = 2x_{c}^{1/2}. Portanto
\int_{0}^{x_{c}} C_{f,x}^{\text{lam}}\,dx = 1{,}328\left(\frac{U_{\infty}}{\nu}\right)^{-1/2} x_{c}^{1/2}.
Substituindo numericamente \nu=3{,}82\times 10^{-6}, U_{\infty}=20 e x_{c}=9{,}55\times 10^{-2}:
\int_{0}^{x_{c}} C_{f,x}^{\text{lam}}\,dx \approx 1{,}79\times 10^{-4}.
Agora a força de arrasto da região laminar é
F_{D}^{\text{lam,}\,0\to x_{c}}=\frac{1}{2}\rho U_{\infty}^{2} b\int_{0}^{x_{c}} C_{f,x}^{\text{lam}}\,dx.
Calculando:
\frac{1}{2}\rho U_{\infty}^{2} b = \tfrac{1}{2}\cdot 890\cdot 20^{2}\cdot 1 = 178000\\ \mathrm{N}.
Portanto
F_{D}^{\text{lam,}\,0\to x_{c}} \approx 178000\times 1{,}792\times 10^{-4}=31{,}9\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Calcular a contribuição da região turbulenta ( x_{c}\le x\le L). Integramos
\int_{x_{c}}^{L} C_{f,x}^{\text{turb}}\,dx = \int_{x_{c}}^{L} 0{,}0592\left(\frac{U_{\infty}x}{\nu}\right)^{-1/5}dx =0{,}0592\left(\frac{U_{\infty}}{\nu}\right)^{-1/5}\int_{x_{c}}^{L} x^{-1/5}dx.
A integral é \int x^{-1/5}dx = \tfrac{5}{4}x^{4/5}. Portanto
\int_{x_{c}}^{L} C_{f,x}^{\text{turb}}\,dx = 0{,}0592\left(\frac{U_{\infty}}{\nu}\right)^{-1/5}\cdot\frac{5}{4}\left(L^{4/5}-x_{c}^{4/5}\right).
Como 0{,}0592\cdot\frac{5}{4}=0{,}074, escrevemos
\int_{x_{c}}^{L} C_{f,x}^{\text{turb}}\,dx = 0{,}074\left(\frac{U_{\infty}}{\nu}\right)^{-1/5}\left(L^{4/5}-x_{c}^{4/5}\right).
É conveniente reescrever usando \mathrm{Re}_{L}=\dfrac{U_{\infty}L}{\nu} e \mathrm{Re}_{x_{c}}=\dfrac{U_{\infty}x_{c}}{\nu}. Observando que
\left(\frac{U_{\infty}}{\nu}\right)^{-1/5}L^{4/5}=L\\ \mathrm{Re}_{L}^{-1/5},\qquad \left(\frac{U_{\infty}}{\nu}\right)^{-1/5}x_{c}^{4/5}=x_{c}\\ \mathrm{Re}_{x_{c}}^{-1/5},
temos a forma prática
\int_{x_{c}}^{L} C_{f,x}^{\text{turb}}\,dx = 0{,}074\left(L\mathrm{Re}_{L}^{-1/5}-x_{c}\mathrm{Re}_{x_{c}}^{-1/5}\right).
Substituindo números ( \mathrm{Re}_{L}=1{,}05\times 10^{7}, \mathrm{Re}_{x_{c}}=5\times 10^{5}, L=2, x_{c}=0{,}0955):
\int_{x_{c}}^{L} C_{f,x}^{\text{turb}}\,dx \approx 5{,}325\times 10^{-3}.
A força de arrasto da região turbulenta é
F_{D}^{\text{turb,}\,x_{c}\to L}=\frac{1}{2}\rho U_{\infty}^{2} b\int_{x_{c}}^{L} C_{f,x}^{\text{turb}}\,dx \approx 178000\times 5{,}325\times 10^{-3}=947{,}9\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Somando as contribuições laminar e turbulenta obtemos o arrasto total (caso realístico com transição em x_{c}):
F_{D}=F_{D}^{\text{lam,}\,0\to x_{c}}+F_{D}^{\text{turb,}\,x_{c}\to L} \approx 31{,}9+947{,}9=979{,}8\\ \mathrm{N}.
Arredondando convenientemente: F_{D}\approx 9,80\times 10^{2}\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Para comparar regimes, calculemos também os dois casos extremos hipotéticos:
  1. Caso totalmente laminar na placa (ou seja, sem transição até L):
\overline{C_{f}}^{\text{lam}}=\frac{1{,}328}{\sqrt{\mathrm{Re}_{L}}},\qquad F_{D}^{\text{lam, total}}=\frac{1}{2}\rho U_{\infty}^{2} b L\,\overline{C_{f}}^{\text{lam}}.
Com \mathrm{Re}_{L}=1{,}05\times 10^{7} obtemos
F_{D}^{\text{lam, total}}\approx 146{,}1\\ \mathrm{N}.
  1. Caso totalmente turbulento desde a borda frontal (hipótese conservadora):
\overline{C_{f}}^{\text{turb}}=0{,}074\,\mathrm{Re}_{L}^{-1/5},\qquad F_{D}^{\text{turb, total}}=\frac{1}{2}\rho U_{\infty}^{2} b L\,\overline{C_{f}}^{\text{turb}}.
Isso dá
F_{D}^{\text{turb, total}}\approx 1{,}04\times 10^{3}\\ \mathrm{N}.
Comparação rápida e interpretação:
  • Se a placa permanecesse laminar até L, o arrasto seria \approx 146\\ \mathrm{N} — bem menor.
  • No caso realístico com transição em x_{c} (o mais correto), F_{D}\approx 980\\ \mathrm{N}.
  • O caso totalmente turbulento dá \approx 1040\\ \mathrm{N}, um pouco maior que o misto; a diferença mostra que a curta região laminar inicial tem efeito pequeno no arrasto total.
    Conclusão: o escoamento é majoritariamente turbulento sobre a placa (transição já em x_{c}\approx 0{,}0955\\ \mathrm{m}), e o arrasto real fica bem próximo do previsto por correlações turbulentas.

Resposta

F_{D}\approx 9{,}80\times 10^{2}\\ \mathrm{N} (placa com transição em x_{c})
F_{D}^{\text{laminar (toda a placa)}}\approx 1{,}46\times 10^{2}\\ \mathrm{N}
F_{D}^{\text{turbulento (toda a placa)}}\approx 1{,}04\times 10^{3}\\ \mathrm{N}
x_{c}\approx 9{,}55\times 10^{-2}\\ \mathrm{m}

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