Óleo escoa sobre uma placa plana com velocidade de corrente livre de 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine F_{D} na placa lisa. Dados: \rho=890 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mu=3,40 \times 10^{-3} P a . s ; b=1 \mathrm{~m} ; L=2 \mathrm{~m}. Verifique o regime de escoamento, comparando F_{D} com o caso laminar, e encontre x_{c}.
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
Determinar a força de arrasto F_{D} sobre a placa lisa de comprimento L e largura b, quando o escoamento livre tem velocidade U_{\infty}=20\\ \mathrm{m/s}.
Verificar o regime de escoamento (se é laminar, turbulento ou misto), comparando F_{D} obtido com o caso totalmente laminar.
Encontrar a posição de transição x_{c} (onde o escoamento muda de laminar para turbulento).
Dados fornecidos (vou listar exatamente os números do enunciado):
Explico rápido: \nu mede a “difusão” de momento; quanto menor \nu, mais facilmente o escoamento se torna turbulento para um dado comprimento e velocidade.
Com \nu posso calcular o número de Reynolds baseado em L, que é
Interpretação curta: \mathrm{Re}_{L} é grande (\sim 10^{7}), portanto a camada limite ao longo da placa vai, na prática, ter transição para turbulência em algum ponto x_{c}\ll L.
Passo 3
Agora achar x_{c}. Convenção usual em problemas de placa plana é tomar a transição quando \mathrm{Re}_{x}=\mathrm{Re}_{\text{crit}} com \mathrm{Re}_{\text{crit}}\approx 5\times 10^{5} (valor clássico para placa lisa em escoamento sem perturbações fortes). A relação é
Comentário amigo: ou seja, a placa fica laminar nos primeiros \approx 9{,}6\\ \mathrm{cm} e depois passa para turbulento — dado que L=2\\ \mathrm{m}, a maior parte da placa terá camada-limite turbulenta.
Passo 4
Agora precisamos da fórmula que liga o atrito (coeficiente de atrito de parede) ao arrasto. Definição útil:
O esforço de cisalhamento na parede é \tau_{w}.
O coeficiente de atrito local é definido por \displaystyle C_{f,x}=\frac{2\tau_{w}}{\rho U_{\infty}^{2}}.
A força de arrasto total sobre uma faixa b\,dx é dF=\tau_{w} b\,dx. Integrando ao longo do comprimento, obtemos
Se a placa permanecesse laminar até L, o arrasto seria \approx 146\\ \mathrm{N} — bem menor.
No caso realístico com transição em x_{c} (o mais correto), F_{D}\approx 980\\ \mathrm{N}.
O caso totalmente turbulento dá \approx 1040\\ \mathrm{N}, um pouco maior que o misto; a diferença mostra que a curta região laminar inicial tem efeito pequeno no arrasto total.
Conclusão: o escoamento é majoritariamente turbulento sobre a placa (transição já em x_{c}\approx 0{,}0955\\ \mathrm{m}), e o arrasto real fica bem próximo do previsto por correlações turbulentas.
Resposta
F_{D}\approx 9{,}80\times 10^{2}\\ \mathrm{N} (placa com transição em x_{c}) F_{D}^{\text{laminar (toda a placa)}}\approx 1{,}46\times 10^{2}\\ \mathrm{N} F_{D}^{\text{turbulento (toda a placa)}}\approx 1{,}04\times 10^{3}\\ \mathrm{N} x_{c}\approx 9{,}55\times 10^{-2}\\ \mathrm{m}