Qual é o coeficiente de sustentação de um aerofólio NACA 4412 imerso em um escoamento de ar cujo número de Mach é 0,7 ? O aerofólio está num ângulo de ataque de 4^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de sustentação de um aerofólio NACA 4412 imerso em um escoamento com número de Mach M=0,7, quando o aerofólio está num ângulo de ataque de 4^\circ.\n
Dados fornecidos e/ou usados explicitamente:
M = 0,7,\qquad \alpha = 4^\circ
Vou usar informações típicas do aerofólio NACA 4412 necessárias para a conta: um valor aproximado do ângulo de ataque de sustentação nula (zero-lift angle) para NACA 4412 e a inclinação de sustentação de referência da teoria linear. Vou explicitar e justificar essas escolhas nos passos seguintes.

Passo 2

Conceito e fórmula básica (incompressível, teoria da asa fina): a teoria da asa fina (thin-airfoil theory) dá uma inclinação de curva de sustentação linear igual a
a_0 = 2\pi\quad\text{(por radiano)},
ou seja, o coeficiente de sustentação varia com o ângulo de ataque em radianos como
C_{L,\text{inc}} = a_0\bigl(\alpha - \alpha_{L0}\bigr),
onde:
  • C_{L,\text{inc}} é o coeficiente de sustentação no caso incompressível;
  • a_0 é a inclinação de sustentação (aqui 2\pi por rad);
  • \alpha é o ângulo de ataque (em radianos nesta fórmula);
  • \alpha_{L0} é o ângulo de ataque de sustentação nula (zero-lift angle), também em radianos.\n
    Explicação didática: a teoria linear supõe que para pequenas variações de ângulo a sustentação cresce linearmente; 2\pi por rad é um resultado clássico para perfis delgados sem efeitos de viscose e para escoamento incompressível.

Passo 3

Valor do ângulo de sustentação nula para NACA 4412 (hipótese e justificativa): NACA 4412 é um aerofólio camberado com camber moderado. Dados experimentais e tabelas aerodinâmicas para NACA 4412 costumam indicar um \alpha_{L0} da ordem de -2^\circ (aproximadamente entre -1^\circ e -3^\circ dependendo da Reynolds e superfície). Vou adotar a estimativa típica
\alpha_{L0} \approx -2^\circ,
e explico: esta escolha é consistente com curvas de polares públicas do NACA 4412 e é suficiente para um cálculo aproximado pedido em provas. Se você tivesse uma tabela experimental, usaria o valor dessa tabela; na falta dela, essa aproximação é padrão.

Passo 4

Converter ângulos para radianos e calcular C_{L,\text{inc}}. Primeiro convertemos:
\alpha = 4^\circ = 4\cdot\frac{\pi}{180} = \frac{4\pi}{180}\\ \text{rad},
\alpha_{L0} = -2^\circ = -2\cdot\frac{\pi}{180} = -\frac{2\pi}{180}\\ \text{rad}.
A diferença em graus é \alpha-\alpha_{L0}=4^\circ-(-2^\circ)=6^\circ. Podemos aplicar a_0 convertido por grau para facilitar (já que 2\pi é por radiano). A inclinação por grau é
a_{0,\text{deg}} = \frac{2\pi}{180/\pi} = \frac{2\pi}{57{,}2958\ldots} \approx 0{,}10966\\ \text{(por grau)}.
Logo, o coeficiente de sustentação incompressível vale
C_{L,\text{inc}} = a_{0,\text{deg}}\cdot(\alpha-\alpha_{L0}) \approx 0{,}10966\cdot 6 = 0{,}65797\approx 0{,}658.
Explicação passo a passo: converti a inclinação por radiano para uma forma por grau para multiplicar diretamente o \Delta\alpha em graus; isso evita erros de conversão manual de radianos.

Passo 5

Efeito da compressibilidade (Prandtl–Glauert): para escoamento sub-sônico onde as hipóteses lineares valem (até cerca de M\lesssim0{,}7\!-\!0{,}8), a correção de compressibilidade de Prandtl–Glauert diz que o coeficiente de sustentação é aumentado por um fator 1/\beta, com
\beta = \sqrt{1-M^2}.
Assim
C_L = \frac{C_{L,\text{inc}}}{\beta} = \frac{C_{L,\text{inc}}}{\sqrt{1-M^2}}.
Explicação didática: quando a velocidade chega a frações significativas da velocidade do som, a compressibilidade torna o ar “mais compressível” e a mesma inclinação geométrica produz maior variação de pressão, aumentando o C_L. A correção de Prandtl–Glauert é a forma linear mais simples de capturar esse efeito.

Passo 6

Calcular numericamente a correção e o C_L. Para M=0{,}7 temos
\beta = \sqrt{1-M^2}=\sqrt{1-0{,}7^2}=\sqrt{1-0{,}49}=\sqrt{0{,}51}\approx 0{,}71418.
Portanto
C_L = \frac{0{,}658}{0{,}71418}\approx 0{,}9211\approx 0{,}92.
Mostrei as contas com 4 casas significativas e arredondei o resultado final para duas casas decimais, que é suficiente para uso em prova.

Passo 7

Observações finais e limitações (para você lembrar na hora da prova):\n
  • Este valor é uma estimativa baseada em teoria linear e na hipótese \alpha_{L0}\approx -2^\circ para NACA 4412. Em ensaios experimentais ou em simulações numéricas (CFD) o C_L pode diferir ligeiramente dependendo de Reynolds, rugosidade e condições reais.\n
  • Para M próximos a 0{,}8 ou acima, a correção linear de Prandtl–Glauert fica imprecisa porque surgem efeitos transônicos (bolhas de choque) e a resposta não é mais linear.\n
  • Se você tiver a polar experimentaI (curva C_L(\alpha)) para o NACA 4412, o procedimento correto é pegar diretamente o C_{L,\text{inc}} experimental e aplicar a correção de compressibilidade, ou usar dados experimentais compressíveis.

Resposta

C_L \approx 0{,}92

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