Óleo quente deve ser resfriado com água em um trocador de calor com 1 passe no casco e 8 passes nos tubos. Os tubos têm paredes finas de cobre e diâmetro interno de 1,4 \mathrm{~cm}. O comprimento de cada passe de tubo no trocador de calor é 5 m , e o coeficiente global de transferência de calor é 310 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} K. Água escoa através dos tubos a uma vazão mássica de 0,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, e o óleo escoa pelo casco a 0,3 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Água e óleo entram com temperaturas de 20^{\circ} \mathrm{C} e 150^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente. Determine a taxa de transferência de calor no trocador de calor e as temperaturas de saída da água e do óleo. ( \mathbf{R}: \dot{\boldsymbol{q}}=\mathbf{3 9}, \mathbf{1} \boldsymbol{k} \boldsymbol{W} ; \boldsymbol{T}_{f, s}=\mathbf{6 6 , 8} \mathbf{8}^{\circ} \mathbf{C} ; \boldsymbol{T}_{q, s}=\mathbf{8 8 , 8} \mathbf{8}^{\circ} \mathbf{C} )

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do trocador:
    • Passe no casco: 1 passe.
    • Passes nos tubos: 8 passes.
    • Tubos: paredes finas de cobre, diâmetro interno d_i = 1{,}4\\ \mathrm{cm} = 0{,}014\\ \mathrm{m}.
    • Comprimento de cada passe de tubo: L_{\text{passe}} = 5\\ \mathrm{m}.
    • Coeficiente global de transferência de calor: U = 310\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K}.
  • Vazões mássicas e temperaturas de entrada:
    • Água (pelo tubo): \dot{m}_\mathrm{w} = 0{,}2\\ \mathrm{kg/s}, T_{\mathrm{w,in}} = 20{^\circ\mathrm{C}}.
    • Óleo (pelo casco): \dot{m}_\mathrm{o} = 0{,}3\\ \mathrm{kg/s}, T_{\mathrm{o,in}} = 150{^\circ\mathrm{C}}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a taxa de transferência de calor no trocador ( \dot{q}).
  • Determinar a temperatura de saída da água ( T_{\mathrm{w,out}}) e do óleo ( T_{\mathrm{o,out}}).
Observações importantes extraídas do enunciado:
  • O trocador tem 8 passes nos tubos; logo o fluido nos tubos percorre 8 trechos de 5\\ \mathrm{m} cada — total de comprimento de tubos por caminho equivalente é 8\times5=40\\ \mathrm{m} (isso será usado para calcular a área de troca).
  • Não foram fornecidos valores de capacidades térmicas específicas ( c_p) para os fluidos; como é habitual em problemas desse tipo, usarei valores típicos e claros na solução (explico e justifico a escolha quando aparecer).
A partir daqui vamos resolver usando a metodologia adequada (efeito NTU / eficácia do trocador + balanço de energia), desenvolvendo passo a passo.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar — aula rápida e prática.
  1. Capacidades térmicas (taxas de capacidade):
C = \dot{m}\, c_p,
onde \dot{m} é a vazão mássica (kg/s) e c_p é o calor específico (J/kg·K). C tem unidades \mathrm{W/K}.
  1. Máxima taxa de troca de calor possível (se um dos fluidos pudesse variar totalmente até a temperatura do outro):
\dot{q}_{\max} = C_{\min}\,(T_{\mathrm{h,in}} - T_{\mathrm{c,in}}),
onde C_{\min}=\min(C_{\mathrm{h}},C_{\mathrm{c}}). Aqui “h” = fluido quente (óleo) e “c” = fluido frio (água).
  1. Método eficácia-NTU (muito usado quando o coeficiente U e a área A são conhecidos):
\dot{q} = \varepsilon\, C_{\min}\, (T_{\mathrm{h,in}} - T_{\mathrm{c,in}}),
onde \varepsilon é a eficácia do trocador. Para um trocador aproximado por um contracorrente (método comum quando há 1 passe no casco e múltiplos passes nos tubos o comportamento pode ser aproximado por contracorrente), a eficácia é
\varepsilon=\frac{1-\exp\!\big(-\mathrm{NTU}\,(1-C_r)\big)}{1 - C_r\,\exp\!\big(-\mathrm{NTU}\,(1-C_r)\big)},
com
\mathrm{NTU}=\frac{U A}{C_{\min}},\qquad C_r=\frac{C_{\min}}{C_{\max}}.
  1. Depois de \dot{q} ser encontrada, as temperaturas de saída vêm do balanço energético:
T_{\mathrm{c,out}} = T_{\mathrm{c,in}} + \frac{\dot{q}}{C_{\mathrm{c}}},\qquad T_{\mathrm{h,out}} = T_{\mathrm{h,in}} - \frac{\dot{q}}{C_{\mathrm{h}}}.
Explicando em palavras: primeiro calculamos as capacidades térmicas dos dois fluidos; com U e A obtemos o número adimensional \mathrm{NTU}; com \mathrm{NTU} e a razão de capacidades C_r achamos a eficácia \varepsilon. A eficácia diz qual fração da troca máxima possível realmente ocorre; daí obtemos \dot{q} e, por fim, as temperaturas de saída. É um método muito usado porque evita a necessidade de conhecer a distribuição de temperatura ao longo do trocador: basta conhecer U, A e as capacidades.

Passo 3

Cálculo da área de troca A a partir dos dados geométricos dos tubos (explicando cada etapa).
  • Cada passe tem comprimento L_{\text{passe}}=5\\ \mathrm{m} e há 8 passes, logo o comprimento total percorrido pelo fluido ao longo de um tubo equivalente é
L_{\text{total}} = 8 \times 5 = 40\\ \mathrm{m}.
  • A área de troca por um tubo (considerando parede fina e usando o perímetro interno como aproximação) é A = \pi d_i L_{\text{total}}. Assim
A = \pi \, d_i \, L_{\text{total}} = \pi \times 0{,}014\\ \mathrm{m} \times 40\\ \mathrm{m}.
Calculemos:
A = 40\pi(0{,}014) = 1{,}7593\\ \mathrm{m}^2\quad(\text{aprox.}).
Comentário didático: aqui assumi que a descrição “8 passes nos tubos” corresponde a um efetivo comprimento total de 40\\ \mathrm{m} de superfície de troca por caminho representativo. Em problemas de sala de aula é uma aproximação comum (paredes finas → diâmetro externo ≈ interno). Se houvesse vários tubos em paralelo o enunciado normalmente daria o número; como não foi dado, usamos essa interpretação padrão.

Passo 4

Escolha dos calores específicos e cálculo das taxas de capacidade C.
  • Água: usarei o calor específico típico da água líquida a temperaturas moderadas:
c_{p,\mathrm{w}} = 4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Portanto
C_{\mathrm{w}} = \dot{m}_{\mathrm{w}}\, c_{p,\mathrm{w}} = 0{,}2\times 4186 = 837{,}2\\ \mathrm{W/K}.
  • Óleo: o enunciado não dá c_{p} do óleo. Óleos térmicos comumente têm c_p entre 1800 e 2300\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. Para um valor representativo e didático vou usar
c_{p,\mathrm{o}} = 2100\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
(este valor está dentro da faixa típica; se o seu professor der outro, basta substituir e recalcular exatamente as mesmas fórmulas). Assim
C_{\mathrm{o}} = \dot{m}_{\mathrm{o}}\, c_{p,\mathrm{o}} = 0{,}3\times 2100 = 630\\ \mathrm{W/K}.
  • Identificando C_{\min} e C_{\max}:
C_{\min} = 630\\ \mathrm{W/K}\quad(\text{o óleo}),\qquad C_{\max} = 837{,}2\\ \mathrm{W/K}\quad(\text{a água}).óá
E a razão de capacidades:
C_r = \frac{C_{\min}}{C_{\max}} = \frac{630}{837{,}2} \approx 0{,}7524.

Passo 5

Cálculo de \mathrm{NTU} e da eficácia \varepsilon.
  • Primeiro U A:
U A = 310\\ \mathrm{W/(m^2K)} \times 1{,}7593\\ \mathrm{m}^2 = 545{,}38\\ \mathrm{W/K}.
  • Então
\mathrm{NTU} = \frac{U A}{C_{\min}} = \frac{545{,}38}{630} \approx 0{,}8661.
  • Para o arranjo aproximado por contracorrente usamos a fórmula
\varepsilon=\frac{1-\exp\!\big(-\mathrm{NTU}\,(1-C_r)\big)}{1 - C_r\,\exp\!\big(-\mathrm{NTU}\,(1-C_r)\big)}.
Calculemos passo a passo:
1-C_r = 1 - 0{,}7524 = 0{,}2476,
-\mathrm{NTU}(1-C_r) = -0{,}8661\times 0{,}2476 \approx -0{,}2143,
\exp(-\mathrm{NTU}(1-C_r)) \approx e^{-0{,}2143} \approx 0{,}8072.
Logo
\varepsilon = \frac{1-0{,}8072}{1 - 0{,}7524\times 0{,}8072} = \frac{0{,}1928}{1 - 0{,}6072} = \frac{0{,}1928}{0{,}3928} \approx 0{,}4909.
Didática: a eficácia \varepsilon é um número adimensional entre 0 e 1 que nos diz a fração da troca de calor máxima (teórica) que é efetivamente alcançada pelo trocador real com as dimensões e o coeficiente dados.

Passo 6

Cálculo da taxa de calor \dot{q} usando \varepsilon.
  • Temperatura diferencial máxima entre entradas:
\Delta T_{\max} = T_{\mathrm{h,in}} - T_{\mathrm{c,in}} = 150 - 20 = 130\\ \mathrm{K}.
  • Logo
\dot{q} = \varepsilon\, C_{\min}\, \Delta T_{\max} = 0{,}4909 \times 630 \times 130.
Fazendo a conta:
\dot{q} \approx 0{,}4909 \times 81\,900 \approx 40\,190{,}7\\ \mathrm{W}.
Arredondando para valores práticos:
\dot{q} \approx 40{,}19\\ \mathrm{kW}.
Comentário: este é o calor transferido do óleo para a água no trocador nas condições e com as aproximações adotadas.

Passo 7

Cálculo das temperaturas de saída (balanço energético).
  • Para a água (fluido frio):
T_{\mathrm{w,out}} = T_{\mathrm{w,in}} + \frac{\dot{q}}{C_{\mathrm{w}}} = 20 + \frac{40\,190{,}7}{837{,}2}.
\frac{40\,190{,}7}{837{,}2} \approx 48{,}03\\ \mathrm{K},
portanto
T_{\mathrm{w,out}} \approx 20 + 48{,}03 = 68{,}03{^\circ\mathrm{C}}.
  • Para o óleo (fluido quente):
T_{\mathrm{o,out}} = T_{\mathrm{o,in}} - \frac{\dot{q}}{C_{\mathrm{o}}} = 150 - \frac{40\,190{,}7}{630}.
\frac{40\,190{,}7}{630} \approx 63{,}82\\ \mathrm{K},
logo
T_{\mathrm{o,out}} \approx 150 - 63{,}82 = 86{,}18{^\circ\mathrm{C}}.
Interpretação: com as escolhas típicas de c_p e a aproximação contracorrente, a água sai aquecida a ~ 68{^\circ}\mathrm{C} e o óleo sai resfriado a ~ 86{^\circ}\mathrm{C}.

Passo 8

Comentários finais, verificação e como usar isso na prova.
  • Resumo do método em 3 passos práticos que você deve decorar para prova:
    1. Calcule C=\dot{m} c_p para cada fluido; identifique C_{\min} e C_{\max}.
    2. Calcule A a partir das dimensões e U A. Determine \mathrm{NTU}=UA/C_{\min} e C_r=C_{\min}/C_{\max}. Use a fórmula de eficácia apropriada (contracorrente, fluxo paralelo, ou correção para trocadores multipass).
    3. Calcule \dot{q}=\varepsilon C_{\min}(T_{\mathrm{h,in}}-T_{\mathrm{c,in}}) e depois as temperaturas de saída por balanço de energia.
  • Observação importante: se o enunciado fornecer outro valor de c_p para o óleo, ou se houver informação sobre número de tubos em paralelo (ou diâmetro externo diferente), substitua esses dados e refaça os cálculos — o procedimento é o mesmo. Em muitos exercícios de prova o professor dá ou espera um c_p típico; se não der, use um valor típico e declare a escolha (como eu fiz).
  • Se o trocador for realmente multi-passe e não puder ser bem aproximado por contracorrente, existe um fator de correção F para a formula \dot{q}=U A F \,\Delta T_{\text{lm}}. Esse fator depende de parâmetros P e R e normalmente é obtido em gráficos ou tabelas. A forma que usei (efeito NTU com aproximação contracorrente) é uma forma rápida e bastante usada em provas quando não há gráfico F disponível.

Resposta

\dot{q} \approx 40{,}19\\ \mathrm{kW}
T_{\mathrm{w,out}} \approx 68{,}03{^\circ\mathrm{C}}
T_{\mathrm{o,out}} \approx 86{,}18{^\circ\mathrm{C}}

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