Óleo lubrificante leve ( c_{p}=2090 \mathrm{~J} / \.\mathrm{kg} \mathrm{K} ) é resfriado pela transferência de calor com água, em um pequeno trocador de calor tubular. O óleo possui uma vazão mássica de 0,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e suas temperaturas na entrada e na saída do trocador de calor são 375 K e 350 K , respectivamente. Água, a 280 K , está disponível numa vazão de 0,201 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} para ser utilizada no processo de resfriamento. Considerando que o coeficiente global de troca térmica é 250 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}, determine a área de troca térmica para as operações em:
Escoamento Cruzado (Fluido misturado no lado da água)

Passo 1

O enunciado pede a área de troca térmica necessária para um trocador tubular em escoamento cruzado, com a condição de que o fluido do lado da água seja misturado. Os dados fornecidos são (todos retirados do enunciado):
  • Óleo lubrificante: vazão mássica \dot{m}_{\text{o}} = 0,5\\ \mathrm{kg/s}.
  • Calor específico do óleo: c_{p,\text{o}} = 2090\\ \mathrm{J/(kg\;K)}.
  • Temperaturas do óleo: entrada T_{\text{o,in}} = 375\\ \mathrm{K} e saída T_{\text{o,out}} = 350\\ \mathrm{K}.
  • Água: vazão mássica disponível \dot{m}_{\text{w}} = 0,201\\ \mathrm{kg/s}.
  • Temperatura de entrada da água: T_{\text{w,in}} = 280\\ \mathrm{K}.
  • Coeficiente global de troca térmica: U = 250\\ \mathrm{W/(m^{2}\,K)}.
  • Configuração: escoamento cruzado com o fluido do lado da água sendo misturado (isto é, a água se comporta como um volume perfeitamente misturado no lado que atravessa o cruzamento).
O enunciado pede especificamente a área de troca térmica para essa configuração.
Observação: o problema não deu o calor específico da água. Vou usar o valor usual aproximado para água líquida à temperatura média: c_{p,\text{w}} = 4180\\ \mathrm{J/(kg\;K)}. Se em prova o professor fornecer outro valor, basta substituir e repetir os cálculos.

Passo 2

Calcular a taxa de calor trocada \dot{Q} a partir dos dados do óleo (energia perdida pelo óleo = energia ganha pela água).
Explicação curta do conceito: a variação de energia térmica transportada por um fluido é dada por \dot{Q} = \dot{m}\, c_p\, \Delta T, onde \dot{m} é vazão mássica, c_p é calor específico e \Delta T é a queda (ou ganho) de temperatura do fluido. Isso vem diretamente da definição de capacidade térmica em fluxo estacionário.
Aqui:
\Delta T_{\text{o}} = T_{\text{o,in}} - T_{\text{o,out}} = 375 - 350 = 25\\ \mathrm{K}.
Logo
\dot{Q} = \dot{m}_{\text{o}}\, c_{p,\text{o}}\, \Delta T_{\text{o}}.
Faço a conta:
\dot{Q} = 0,5 \cdot 2090 \cdot 25 = 26125\\ \mathrm{W}.
Portanto, \dot{Q} = 26125\\ \mathrm{W} (aprox. 26,13\\ \mathrm{kW}). Esta é a potência térmica que precisa ser transferida da corrente de óleo para a água.

Passo 3

Determinar a temperatura de saída da água e as vazões térmicas (taxas de capacidade térmica) dos dois fluidos.
Explicação do raciocínio: conservação de energia no trocador (fluido quente perde o mesmo calor que o fluido frio ganha, ignorando perdas externas). Para a água:
\dot{Q} = \dot{m}_{\text{w}}\, c_{p,\text{w}}\, \left(T_{\text{w,out}} - T_{\text{w,in}}\right).
Isolando T_{\text{w,out}}:
T_{\text{w,out}} = T_{\text{w,in}} + \frac{\dot{Q}}{\dot{m}_{\text{w}}\, c_{p,\text{w}}}.
Substituindo números (lembre que usei c_{p,\text{w}} = 4180\\ \mathrm{J/(kg\,K)}):
T_{\text{w,out}} = 280 + \frac{26125}{0,201 \cdot 4180}.
Calcule:
0,201\cdot4180 = 840,18\\ \mathrm{W/K}.
\frac{26125}{840,18} \approx 31,11\\ \mathrm{K}.
T_{\text{w,out}} \approx 280 + 31,11 = 311,11\\ \mathrm{K}.
Agora as taxas de capacidade térmica (também chamadas C=\dot{m}c_p):
C_{\text{o}} = \dot{m}_{\text{o}}\, c_{p,\text{o}} = 0,5\cdot 2090 = 1045\\ \mathrm{W/K}.
C_{\text{w}} = \dot{m}_{\text{w}}\, c_{p,\text{w}} = 0,201\cdot 4180 = 840,18\\ \mathrm{W/K}.
Identificamos C_{\min} = 840,18\\ \mathrm{W/K} (água) e C_{\max} = 1045\\ \mathrm{W/K}. A razão de capacidades térmicas é
C = \frac{C_{\min}}{C_{\max}} = \frac{840,18}{1045} \approx 0,8037.

Passo 4

Calcular a eficácia real ( \varepsilon) do trocador a partir das temperaturas medidas.
Explicação do conceito: a eficácia \varepsilon é a razão entre o calor realmente transferido e o calor máximo teoricamente possível se o fluido de menor capacidade térmica atingisse a temperatura do fluido quente de entrada. Formalmente,
\varepsilon = \frac{\dot{Q}}{C_{\min}\, (T_{\text{h,in}} - T_{\text{c,in}})}.
Aqui o fluido de menor capacidade foi a água, C_{\min}=C_{\text{w}}. O fluido quente de entrada é o óleo com T_{\text{h,in}}=375\\ \mathrm{K} e o fluido frio de entrada é a água com T_{\text{c,in}}=280\\ \mathrm{K}.
Portanto:
\varepsilon = \frac{26125}{840,18 \cdot (375 - 280)} = \frac{26125}{840,18\cdot 95}.
Faço as contas:
840,18\cdot 95 = 79817,1.
\varepsilon \approx \frac{26125}{79817,1} \approx 0,3274.
Então a eficácia requerida/observada do trocador é \varepsilon \approx 0,3274.

Passo 5

Explicar e usar o método NTU–eficácia apropriado para escoamento cruzado com um fluido misturado.
Conceitos breves e intuitivos:
  • NTU (Number of Transfer Units) é uma medida adimensional do tamanho do trocador: \mathrm{NTU} = \dfrac{U A}{C_{\min}}. Quanto maior o NTU, maior a área relativa ao fluxo térmico e maior a eficácia possível.
  • A eficácia \varepsilon relaciona-se com NTU e com a razão de capacidades C por correlações que dependem da configuração (paralelo, contrafluxo, cruzado, etc.).
  • Para o caso de escoamento cruzado com um fluido perfeitamente misturado (no nosso problema: água misturada) e o outro fluido não misturado, existe uma expressão analítica que relaciona \varepsilon, C e \mathrm{NTU}:
\varepsilon = 1 - \exp\!\left[-\frac{1}{C}\left(1 - e^{-C\,\mathrm{NTU}}\right)\right].
Nesta fórmula:
  • C = C_{\min}/C_{\max} (já calculado),
  • \mathrm{NTU} = U A / C_{\min},
  • \varepsilon é a eficácia.
Esta fórmula é a correlação padrão usada para crossflow com um lado misturado (pode ser encontrada em livros de trocadores de calor como Incropera & DeWitt). Vou usá-la para encontrar o \mathrm{NTU} necessário, dado \varepsilon e C.

Passo 6

Isolar \mathrm{NTU} da expressão de eficácia e calcular numericamente.
Parto da equação:
\varepsilon = 1 - \exp\!\left[-\frac{1}{C}\left(1 - e^{-C\,\mathrm{NTU}}\right)\right].
Defino 1-\varepsilon e aplico logaritmo:
1-\varepsilon = \exp\!\left[-\frac{1}{C}\left(1 - e^{-C\,\mathrm{NTU}}\right)\right].
Tomando ln:
\ln(1-\varepsilon) = -\frac{1}{C}\left(1 - e^{-C\,\mathrm{NTU}}\right).
Isolando o termo exponencial:
1 - e^{-C\,\mathrm{NTU}} = - C\, \ln(1-\varepsilon).
e^{-C\,\mathrm{NTU}} = 1 + C\, \ln(1-\varepsilon).
Tomando ln novamente e isolando \mathrm{NTU}:
- C\,\mathrm{NTU} = \ln\!\big(1 + C\, \ln(1-\varepsilon)\big),
\mathrm{NTU} = -\frac{1}{C}\, \ln\!\big(1 + C\, \ln(1-\varepsilon)\big).
Agora substituo os valores numéricos já calculados: \varepsilon = 0,3274 e C = 0,8037.
Calcule passo a passo:
\ln(1-\varepsilon) = \ln(1 - 0,3274) = \ln(0,6726) \approx -0,3964.
C\,\ln(1-\varepsilon) = 0,8037 \cdot (-0,3964) \approx -0,3185.
1 + C\,\ln(1-\varepsilon) = 1 - 0,3185 = 0,6815.
\ln\big(1 + C\,\ln(1-\varepsilon)\big) = \ln(0,6815) \approx -0,3837.
\mathrm{NTU} = -\frac{1}{0,8037}\cdot(-0,3837) \approx 0,4773.
Portanto, o valor de \mathrm{NTU} necessário é aproximadamente \mathrm{NTU} \approx 0,4773.

Passo 7

Calcular a área A que corresponde a esse \mathrm{NTU}.
Relação definidora:
\mathrm{NTU} = \frac{U A}{C_{\min}} \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{\mathrm{NTU}\, C_{\min}}{U}.
Substituindo números:
A = \frac{0,4773 \cdot 840,18}{250}.
Faço a conta:
0,4773\cdot840,18 \approx 401,05.
A \approx \frac{401,05}{250} \approx 1,6042\\ \mathrm{m^{2}}.
Arredondando com razoável precisão para provas: A \approx 1,60\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 8

Breve interpretação e dica prática (como usar isso na prova)
  • O procedimento geral para trocadores em configurações não triviais (como crossflow) é: (i) usar balanço de energia para obter \dot{Q} e temperatura de saída faltante; (ii) calcular C_{\min}, C_{\max} e C; (iii) calcular a eficácia \varepsilon a partir das temperaturas; (iv) usar a correlação de eficácia-NTU adequada para a configuração (aqui usamos a fórmula apropriada para crossflow com um lado misturado) para obter \mathrm{NTU}; (v) finalmente calcular A via \mathrm{NTU}=UA/C_{\min}.
  • Em prova, memorize a expressão de eficácia correspondente à configuração pedida (ou tenha o gráfico/tabela se permitido). Também leve valores típicos de c_p se não forem dados (água \approx 4180\\ \mathrm{J/(kgK)}, ar ~1005 J/(kgK), etc.), mas se o professor der valor específico deve-se usar aquele.
  • Conferência rápida: área positiva, ordem de grandeza sensata (alguns metros quadrados para potências de dezenas de kW) — aqui 1,6\\ \mathrm{m^{2}} é razoável para o caso.

Resposta

A \approx 1,60\\ \mathrm{m^{2}}

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