7 Óleo quente deve ser resfriado em um trocador de calor de tubo duplo em contracorrente. Os tubos de cobre internos têm diâmetro de 2 cm e espessura desprezível. O diâmetro interno do tubo externo (casco) é 3 cm . A água escoa através do tubo a uma taxa de 0,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, e o óleo escoa através do casco a uma taxa de 0,8 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Considerando as temperaturas médias da água e do óleo como 45^{\circ} \mathrm{C} e 80^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente, determine o coeficiente global de transferência de calor desse trocador de calor.
As propriedades do óleo a 80^{\circ} \mathrm{C} são (Tab. A-13)
\begin{array}{ll} \rho=852 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} & \operatorname{Pr}=499,3 \\\ k=0,138 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{~K} & \nu=3,794 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} \end{array}
As propriedades da água a 45^{\circ} \mathrm{C} são (Tab. A-9)
\rho=990,1 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} \quad \operatorname{Pr}=3,91
k=0,637 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} \quad \nu=\mu / \rho=0,602 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado descreve um trocador de calor de tubo duplo em contracorrente, com as seguintes características: tubo interno de cobre de diâmetro interno D_i=0{,}02\;\mathrm{m} (espessura desprezível), casco de diâmetro interno D_o=0{,}03\;\mathrm{m}. A água escoa no tubo a \dot m_w=0{,}5\;\mathrm{kg/s} e o óleo no casco a \dot m_o=0{,}8\;\mathrm{kg/s}. As propriedades médias são dadas para água a 45\,^\circ\mathrm{C} e óleo a 80\,^\circ\mathrm{C}. Queremos calcular o coeficiente global de transferência de calor U, usando
\frac1{U} \;=\;\frac1{h_i}+\frac1{h_o}
onde h_i é o coeficiente convectivo no lado da água e h_o no lado do óleo. Para isso vamos:
  1. determinar h_i pela correlação de Dittus–Boelter;
  2. determinar h_o para escoamento laminar no anel;
  3. combinar as resistências para obter U.

Passo 2

Cálculo de h_i (água no tubo)
O diâmetro hidráulico é D_{h,i}=D_i. A área de escoamento é
A_i = \frac{\pi D_i^2}{4} = \frac{\pi(0{,}02)^2}{4}=3{,}1416\times10^{-4}\;\mathrm{m}^2.
A velocidade média da água é
V_i = \frac{\dot m_w}{\rho_w A_i} = \frac{0{,}5}{990{,}1\times3{,}1416\times10^{-4}} \approx1{,}61\;\mathrm{m/s}.
O número de Reynolds é
\mathrm{Re}_i = \frac{V_i D_i}{\nu_w} = \frac{1{,}61\times0{,}02}{0{,}602\times10^{-6}} \approx5{,}34\times10^{4},
indicando escoamento turbulento. Aplicamos Dittus–Boelter para tubos lisos e temperatura de parede próxima à média:
\mathrm{Nu}_i = 0{,}023\,\mathrm{Re}_i^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}_w^{0{,}4} =0{,}023\,(5{,}34\times10^4)^{0{,}8}\,(3{,}91)^{0{,}4} \approx240.
Então
h_i = \frac{\mathrm{Nu}_i\,k_w}{D_i} = \frac{240\times0{,}637}{0{,}02} \approx7{,}640\;\mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 3

Cálculo de h_o (óleo no anel)
A área do anel é
A_o = \frac{\pi}{4}\bigl(D_o^2 - D_i^2\bigr) = \frac{\pi}{4}(0{,}03^2-0{,}02^2) =3{,}927\times10^{-4}\;\mathrm{m}^2.
O perímetro molhado é P=\pi(D_o+D_i)=\pi(0{,}03+0{,}02)=0{,}1571\;\mathrm{m}, logo o diâmetro hidráulico
D_{h,o} = \frac{4A_o}{P} \approx0{,}01\;\mathrm{m}.
A velocidade média do óleo é
V_o = \frac{\dot m_o}{\rho_o A_o} = \frac{0{,}8}{852\times3{,}927\times10^{-4}} \approx2{,}39\;\mathrm{m/s}.
O Reynolds do óleo fica
\mathrm{Re}_o = \frac{V_o D_{h,o}}{\nu_o} = \frac{2{,}39\times0{,}01}{3{,}794\times10^{-5}} \approx630,
isto é, escoamento laminar completamente desenvolvido. Para um anel de razão D_o/D_i=1{,}5 e parede de temperatura praticamente constante, adota-se um \mathrm{Nu}_o aproximadamente constante. Usamos o valor típico
\mathrm{Nu}_o \approx 3{,}66.
Assim
h_o = \frac{\mathrm{Nu}_o\,k_o}{D_{h,o}} = \frac{3{,}66\times0{,}138}{0{,}01} \approx50{,}5\;\mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 4

Combinação das resistências e cálculo de U
Desprezando a resistência da parede (cobre muito condutor), temos
\frac1{U} = \frac1{h_i} + \frac1{h_o} = \frac1{7\,640} + \frac1{50{,}5} \approx0{,}0001308 + 0{,}01980 =0{,}01993\;\mathrm{(m^2\cdot K)/W}.
Logo
U = \frac1{0{,}01993} \approx50{,}2\;\mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Resposta

O coeficiente global de transferência de calor é
U \approx 50{,}2\;\mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

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