Um oligopolista tem sido capaz de determinar o preço de venda de seu produto de forma semelhante ao modelo de Mark-up (margem fixa). A margem tem sido de 32 \%. A função de Custo Total (CT) do oligopolista é C T=0,7 Q^{3}-20 Q^{2}+600 Q+35000, em que Q é a quantidade produzida. Qual deve ser o preço de venda se esse oligopolista estiver produzindo 70 unidades do produto? Qual é a Receita Total, o Custo Total e o Lucro Total ou Prejuízo total nessa condição? Por que empresas adotariam esse método precificação? (2)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei tudo do enunciado):
  • A margem fixa usada no mark-up é 32\%. Vou chamar essa margem de m, portanto m=0,32.
  • A função de Custo Total é C T(Q)=0{,}7\,Q^{3}-20\,Q^{2}+600\,Q+35000.
  • A quantidade produzida é Q=70.
O enunciado faz as seguintes perguntas:
  1. Qual deve ser o preço de venda quando Q=70?
  2. Qual é a Receita Total nessa condição?
  3. Qual é o Custo Total nessa condição?
  4. Qual é o Lucro Total (ou Prejuízo) nessa condição?
  5. Por que empresas adotariam esse método de precificação? (pediu 2 motivos)

Passo 2

Antes de calcular, vamos fixar as fórmulas e o significado de cada coisa — passo-a-passo didático:
  • C T(Q) é o custo total em função da quantidade Q. Para uma quantidade dada, C T é a soma de custos fixos e variáveis.
  • Custo médio (ou custo por unidade) é a média do custo total por unidade produzida:
\text{Custo médio }(AC)=\frac{C T(Q)}{Q}.é
Aqui AC é o custo médio unitário (Average Cost).
  • No método mark-up com margem m definida como “margem sobre o preço de venda”, a margem m é dada por
m=\frac{P-C}{P},
onde P é o preço de venda por unidade e C é o custo por unidade (usamos C=AC aqui). Essa fórmula significa: margem = (preço - custo)/preço. Isolando P obtemos a fórmula prática usada por empresas:
P=\frac{AC}{1-m}.
Expliquei isso porque existem duas convenções (markup sobre custo ou margem sobre preço); aqui uso a convenção em que m é percentual do preço (como o enunciado indica “margem de 32%”).
  • Receita Total (RT ou R T) é preço vezes quantidade:
R T = P\cdot Q.
  • Lucro Total (ou prejuízo) é a diferença entre receita total e custo total:
\Pi = R T - C T(Q).
Agora aplicamos essas fórmulas com Q=70 e m=0{,}32.

Passo 3

Calcular o Custo Total para Q=70. Substituindo em \;C T(Q)=0{,}7Q^{3}-20Q^{2}+600Q+35000\;:
C T(70)=0{,}7\cdot70^{3}-20\cdot70^{2}+600\cdot70+35000.
Calculemos as potências e os produtos passo a passo:
70^{2}=4900,\qquad 70^{3}=70\cdot4900=343000.
Agora os termos:
0{,}7\cdot343000=240100,
-20\cdot4900=-98000,
600\cdot70=42000.
Somando tudo:
C T(70)=240100-98000+42000+35000.
Primeiro 240100-98000=142100. Depois 142100+42000=184100. Finalmente 184100+35000=219100.
Logo
C T(70)=219100.

Passo 4

Calcular o custo médio unitário AC em Q=70:
AC=\frac{C T(70)}{70}=\frac{219100}{70}=3130.
Portanto o custo médio por unidade é \;AC=3130\; (unidades monetárias por unidade produzida).

Passo 5

Calcular o preço de venda P usando o mark-up com margem m=0{,}32. Usando \;P=\dfrac{AC}{1-m}\;:
P=\frac{3130}{1-0{,}32}=\frac{3130}{0{,}68}.
Faço a divisão:
P=\frac{3130}{0{,}68}=\frac{313000}{68}\approx4602{,}941176\ldots
Arredondando para duas casas decimais (prática comum em preços):
P\approx4602{,}94.

Passo 6

Calcular a Receita Total R T:
R T = P\cdot Q \approx4602{,}941176\cdot70.
Multiplicando:
R T \approx322205{,}882352\ldots
Arredondando para duas casas decimais:
R T\approx322205{,}88.

Passo 7

Calcular o Lucro Total \Pi:
\Pi = R T - C T(70)\approx322205{,}882352-219100.
\Pi\approx103105{,}882352\ldots
Arredondando para duas casas decimais:
\Pi\approx103105{,}88.
Ou seja, é lucro (positivo) de aproximadamente 103105{,}88.

Passo 8

Por que empresas adotariam esse método de precificação? Vou dar dois motivos práticos e comuns (dois pontos, como você pediu):
  1. Simplicidade e garantia de margem: o método é fácil de aplicar — calcula-se o custo médio e aplica-se uma margem fixa para cobrir custos fixos, riscos e garantir margem de lucro. Isso facilita a formação de preço sem precisar estimar demanda/elasticidade a cada vez.
  2. Planejamento e estabilidade: garante que, enquanto os custos forem cobrados e a margem for aplicada, a empresa consegue cobrir custos e atingir uma meta de rentabilidade; é útil quando há pouca concorrência ou quando os custos são relativamente previsíveis.
Observação rápida (não pedida como resposta final): esse método tem desvantagens — ignora elasticidade da demanda e preço ótimo baseado em receita marginal e custo marginal — por isso é usado por praticidade mais do que por teoria de maximização de lucro estrita.

Resposta

P\\ (\text{preço de venda})=\text{R\$ }4.602{,}94ç
R T\\ (\text{Receita Total})=\text{R\$ }322.205{,}88
C T\\ (\text{Custo Total})=\text{R\$ }219.100{,}00
\Pi\\ (\text{Lucro Total})=\text{R\$ }103.105{,}88
Por que adotariam: (1) simplicidade e garantia de margem para cobrir custos e risco; (2) facilita planejamento e estabilidade de preços.

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