Uma empresa com poder de determinar o preço de mercado do seu produto está analisando a possibilidade de aumentar o seu faturamento (Receita Total). A função de demanda para o seu produto é dada pela equação
. Onde
é o preço em Reais e
a quantidade demandada. Qual é a quantidade
a ser produzida e preço § a ser estabelecido para que a empresa obtenha o máximo de receita? (2)
Passo 1
O enunciado dá a função de demanda e pede a quantidade e o preço que maximizam a receita total. Informações fornecidas:
- A função de demanda é
, onde é o preço em reais e é a quantidade demandada. - Pergunta: encontrar a quantidade
a produzir e o preço a estabelecer para que a receita total seja máxima.
Passo 2
Definir a receita total como função de
. Explicação didática: a receita total (faturamento) é o preço recebido por unidade multiplicado pela quantidade vendida. Como o preço depende da quantidade pela função de demanda, escreve-se a receita como função de
:
Aqui
é a receita total em reais quando se vende
unidades, e
é o preço correspondente dado pela demanda.
Passo 3
Substituir
em
e desenvolver a expressão (mostrando a conta passo a passo):
Multiplicando:
Comentário: isso é um polinômio quadrático em
. Quadráticas com coeficiente do termo
negativo (aqui
) abrem para baixo, então têm um máximo global.
Passo 4
Usar derivada para encontrar o ponto crítico onde a receita pode ser máxima. Explicação didática da derivada: a derivada
representa a taxa de variação instantânea da receita quando se aumenta a quantidade
. Para encontrar máximos interiores de funções diferenciáveis, procuramos pontos onde a derivada é zero (ou não existe). Calculemos a derivada do polinômio, lembrando a regra básica:
.
Derivando termo a termo:
Derivando termo a termo:
Agora igualamos a zero para achar os pontos críticos:
Fazendo a divisão:
, portanto
Passo 5
Verificar que o ponto encontrado é realmente um máximo. Explicação didática do teste da segunda derivada: a segunda derivada
indica a concavidade da função; se
no ponto crítico, então temos máximo local (e, para quadrática com coeficiente negativo, é máximo global).
Calcule:
Calcule:
Como
, a função é côncava para baixo em todo lugar e o ponto
é um máximo da receita.
Passo 6
Calcular o preço correspondente usando a função de demanda (mostrar a conta):
Calcule
:
e
, soma
. Então
Passo 7
Resumo final da solução (sem desenvolver nova conta): a receita total é máxima quando se produz
unidades, e o preço a ser cobrado é
reais por unidade. Força aí — você já tem o resultado e o raciocínio passo a passo para aplicar em prova!