Uma empresa com poder de determinar o preço de mercado do seu produto está analisando a possibilidade de aumentar o seu faturamento (Receita Total). A função de demanda para o seu produto é dada pela equação P=664-4 Q. Onde P é o preço em Reais e Q a quantidade demandada. Qual é a quantidade (Q) a ser produzida e preço § a ser estabelecido para que a empresa obtenha o máximo de receita? (2)

Passo 1

O enunciado dá a função de demanda e pede a quantidade e o preço que maximizam a receita total. Informações fornecidas:
  • A função de demanda é \;P = 664 - 4Q\;, onde \;P\; é o preço em reais e \;Q\; é a quantidade demandada.
  • Pergunta: encontrar a quantidade \;Q\; a produzir e o preço \;P\; a estabelecer para que a receita total seja máxima.

Passo 2

Definir a receita total como função de \;Q\;. Explicação didática: a receita total (faturamento) é o preço recebido por unidade multiplicado pela quantidade vendida. Como o preço depende da quantidade pela função de demanda, escreve-se a receita como função de \;Q\;:
R(Q)=P(Q)\cdot Q.
Aqui \;R(Q)\; é a receita total em reais quando se vende \;Q\; unidades, e \;P(Q)\; é o preço correspondente dado pela demanda.

Passo 3

Substituir \;P(Q)=664-4Q\; em \;R(Q)\; e desenvolver a expressão (mostrando a conta passo a passo):
R(Q)=(664-4Q)\cdot Q.
Multiplicando:
R(Q)=664Q-4Q^2.
Comentário: isso é um polinômio quadrático em \;Q\;. Quadráticas com coeficiente do termo Q^2 negativo (aqui -4) abrem para baixo, então têm um máximo global.

Passo 4

Usar derivada para encontrar o ponto crítico onde a receita pode ser máxima. Explicação didática da derivada: a derivada \;R'(Q)\; representa a taxa de variação instantânea da receita quando se aumenta a quantidade \;Q. Para encontrar máximos interiores de funções diferenciáveis, procuramos pontos onde a derivada é zero (ou não existe). Calculemos a derivada do polinômio, lembrando a regra básica: \dfrac{d}{dQ}(a Q^n)=a n Q^{n-1}.
Derivando termo a termo:
R'(Q)=\dfrac{d}{dQ}(664Q)-\dfrac{d}{dQ}(4Q^2)=664-8Q.
Agora igualamos a zero para achar os pontos críticos:
664-8Q=0\quad\Rightarrow\quad 8Q=664\quad\Rightarrow\quad Q=\dfrac{664}{8}.
Fazendo a divisão: \;8\times83=664, portanto
Q=83.

Passo 5

Verificar que o ponto encontrado é realmente um máximo. Explicação didática do teste da segunda derivada: a segunda derivada \;R''(Q)\; indica a concavidade da função; se \;R''(Q)<0\; no ponto crítico, então temos máximo local (e, para quadrática com coeficiente negativo, é máximo global).
Calcule:
R''(Q)=\dfrac{d}{dQ}(664-8Q)=-8.
Como -8<0, a função é côncava para baixo em todo lugar e o ponto \;Q=83\; é um máximo da receita.

Passo 6

Calcular o preço correspondente usando a função de demanda (mostrar a conta):
P=664-4Q=664-4\cdot83.
Calcule 4\cdot83: \;4\cdot80=320 e \;4\cdot3=12, soma \;320+12=332. Então
P=664-332=332.

Passo 7

Resumo final da solução (sem desenvolver nova conta): a receita total é máxima quando se produz \;Q=83\; unidades, e o preço a ser cobrado é \;P=332 reais por unidade. Força aí — você já tem o resultado e o raciocínio passo a passo para aplicar em prova!

Resposta

\;Q=83 unidades
\;P=332 reais

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