A saída do sistema é y[k], e e1[k] e e2[k] são as entradas.
a) Determine a representação em espaço de estados para o sistema Omega;
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de sistemas dinâmicos onde precisamos transformar um conjunto de equações de diferenças em uma representação de espaço de estados. Isso significa que vamos reorganizar as equações para identificar as matrizes A, B, C e D que descrevem como o sistema evolui e como as entradas influenciam a saída. Para isso, vamos precisar entender como escolher as variáveis de estado e manipular as equações dadas.
Nosso objetivo é colocar isso em uma forma que seja mais fácil de trabalhar no espaço de estados. Para isso, precisamos definir quais vão ser nossas variáveis de estado. Geralmente, escolhemos as variáveis que representam os estados atuais do sistema, como valores anteriores de x e v.
Passo 3
Vamos definir nossas variáveis de estado. Observando as equações, vemos que as variáveis futuras dependem de x[k] e v[k]. Então, uma boa escolha seria:
x₁[k] = x[k]
x₂[k] = v[k]
Agora, precisamos expressar x[k+1] e v[k+1] em termos de x₁[k] e x₂[k] e das entradas e₁[k] e e₂[k].
Passo 4
Vamos reescrever as equações originais usando nossas variáveis de estado:
Da primeira equação:
x[k+2] = 4 e1[k] + e2[k] - v[k+1]
Substituindo x[k+2] por x₁[k+1] e v[k+1] por x₂[k+1], temos:
x₁[k+1] = 4 e1[k] + e2[k] - x₂[k+1] ₁₂
Da segunda equação:
v[k+2] = v[k] - x[k] + 2 e1[k]
Substituindo v[k+2] por x₂[k+2]:
x₂[k+2] = x₂[k] - x₁[k] + 2 e1[k] ₂₂₁
Agora, precisamos encontrar uma relação que nos permita expressar x₁[k+1] e x₂[k+1] em termos de x₁[k], x₂[k] e as entradas.
Passo 5
Vamos reorganizar as equações para isolar x₁[k+1] e x₂[k+1]:
Da primeira equação:
x₁[k+1] = 4 e1[k] + e2[k] - x₂[k+1] ₁₂
Mas precisamos de x₂[k+1]. Vamos olhar a segunda equação e perceber que ela relaciona x₂[k+2], o que é um passo além. Para manter tudo no primeiro passo à frente, podemos usar a definição das variáveis de estado para relacionar x₂[k+1].
Considerando x₂[k+1] = v[k+1], e olhando a primeira equação, já temos:
x₁[k+1] = 4 e1[k] + e2[k] - x₂[k+1] ₁₂
Precisamos de outra equação para relacionar x₂[k+1]. Vamos usar a segunda equação para isso:
v[k+2] = v[k] - x[k] + 2 e1[k]
Mas v[k+2] = x₂[k+2], e queremos x₂[k+1]. Então, vamos reescrever a segunda equação para avançar um passo:
x₂[k+1] = v[k+1] = v[k-1] - x[k-1] + 2 e1[k-1] ₂
Isso está ficando complicado, então vamos simplificar escolhendo apenas uma variável de estado adicional para facilitar.
Passo 6
Vamos redefinir nossas variáveis de estado para simplificar:
Agora, precisamos relacionar v[k]. Vamos usar a segunda equação:
v[k+2] - v[k] + x[k] = 2 e1[k]
Substituindo x[k] por x₁[k] e definindo x₂[k] = x[k+1], percebemos que precisamos de outra variável de estado para v[k]. Então, vamos adicionar:
x₃[k] = v[k]
Agora, temos três variáveis de estado:
x₁[k] = x[k]
x₂[k] = x[k+1]
x₃[k] = v[k]
Passo 7
Usando essas três variáveis de estado, vamos reescrever as equações:
x₁[k+1] = x₂[k]
Da primeira equação:
x₂[k+1] = 4 e1[k] + e2[k] - x₃[k+1] ₂₃
Da segunda equação:
x₃[k+2] - x₃[k] + x₁[k] = 2 e1[k] ₃₃₁
Como queremos x₃[k+1], rearranjamos:
x₃[k+1] = x₃[k-1] - x₁[k-1] + 2 e1[k-1] ₃₃₁
Isso ainda está complicado, então vamos simplificar assumindo que podemos expressar x₃[k+1] diretamente em termos de variáveis atuais.
Passo 8
Vamos reconsiderar e simplificar a escolha de variáveis de estado. Para evitar complicações, vamos escolher as variáveis de estado como x[k] e v[k] apenas, já que são as variáveis principais.
Definindo:
x₁[k] = x[k]
x₂[k] = v[k]
Agora, precisamos expressar x₁[k+1] e x₂[k+1] em termos de x₁[k], x₂[k] e as entradas.
Passo 9
Usando a primeira equação:
x[k+2] + v[k+1] = 4 e1[k] + e2[k]
Como x[k+2] = x₁[k+2] e v[k+1] = x₂[k+1], reescrevemos:
x₁[k+2] = 4 e1[k] + e2[k] - x₂[k+1] ₁₂
Mas queremos x₁[k+1], então percebemos que:
x₁[k+1] = x[k+1] = ? ₁
Precisamos de uma relação direta. Talvez seja melhor resolver as equações simultaneamente.
Passo 10
Desculpe pela confusão anterior. Vamos reorganizar as equações para expressar tudo em termos de x[k] e v[k].
Da primeira equação:
x[k+2] = 4 e1[k] + e2[k] - v[k+1]
Da segunda equação:
v[k+2] = v[k] - x[k] + 2 e1[k]
Da terceira equação, que define a saída:
y[k] = v[k+2] - x[k+1] + e1[k]
Agora, para colocar em espaço de estados, queremos expressar x[k+1] e v[k+1] em termos de x[k], v[k] e as entradas.
Passo 11
Vamos definir nossas variáveis de estado como:
x₁[k] = x[k]
x₂[k] = v[k]
Agora, queremos encontrar x₁[k+1] e x₂[k+1].
Da primeira definição:
x₁[k+1] = x[k+1] ₁
Da primeira equação:
x[k+2] = 4 e1[k] + e2[k] - v[k+1]
Mas x[k+2] = x₁[k+2], e queremos x₁[k+1]. Então, para encontrar x[k+1], precisamos de uma relação.
Da segunda equação:
v[k+2] = v[k] - x[k] + 2 e1[k]
Substituindo v[k+2] por x₂[k+2]:
x₂[k+2] = x₂[k] - x₁[k] + 2 e1[k] ₂₂₁
Isso indica que precisamos de mais uma variável de estado para fechar o sistema. Assim, vamos definir:
x₃[k] = x[k+1]
Agora, temos:
x₁[k] = x[k]
x₂[k] = v[k]
x₃[k] = x[k+1]
Passo 12
Com essas três variáveis de estado, podemos expressar as equações:
x₁[k+1] = x₃[k]
Da primeira equação:
x₃[k+1] = 4 e1[k] + e2[k] - x₂[k+1] ₃₂
Da segunda equação:
x₂[k+1] = x₂[k] - x₁[k] + 2 e1[k] ₂₂₁
Agora, temos um sistema de equações que podemos colocar na forma matricial.
Passo 13
Vamos organizar as equações em termos das variáveis de estado e das entradas e₁[k] e e₂[k]: