y[k]=summ=0^infty g[k-m] u[m]
em que g[k] e u[k] são sequências quaisquer. Demonstre que:
Zy[k]=G[z] U[z]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a Transformada Z de é igual ao produto das Transformadas Z de e . Isso está relacionado ao estudo de sequências e transformadas no domínio da Z-transformada. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da Transformada Z e como ela se comporta com somas e produtos de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada Z. A Transformada Z de uma sequência Zx[k] = sumk=-infty^infty x[k] z^-k é definida por:
Esta fórmula transforma uma sequência no domínio do tempo para o domínio da frequência complexa .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada Z na sequência Zy[k] = sumk=-infty^infty y[k] z^-k :
Zy[k] = sumk=-infty^infty ( summ=0^infty g[k - m] u[m] ) z^-k
Substituindo pela expressão dada no enunciado:

Passo 4

Vamos trocar a ordem das somas. Isso é possível devido à propriedade de linearidade da Transformada Z:
Zy[k] = summ=0^infty u[m] sumk=-infty^infty g[k - m] z^-k
Aqui, estamos fatorando para fora da soma interna.

Passo 5

Agora, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a expressão. Seja sumk=-infty^infty g[k - m] z^-k = sumn=-infty^infty g[n] z^-(n + m) = z^-m sumn=-infty^infty g[n] z^-n , então Zg[k] = G[z] . Substituindo na soma interna:
Zy[k] = summ=0^infty u[m] z^-m G[z] = G[z] summ=0^infty u[m] z^-m
A soma dentro do parênteses é exatamente a Transformada Z de :
Então, a expressão fica:

Passo 6

A soma restante é a Transformada Z de summ=0^infty u[m] z^-m = Zu[k] = U[z] :
Zy[k] = G[z] U[z]
Portanto, temos:

Resposta

A Transformada Z de Zy[k] = G[z] U[z] é igual ao produto das Transformadas Z de e , ou seja:

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