em que
e
são sequências quaisquer. Demonstre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a Transformada Z de
é igual ao produto das Transformadas Z de
e
. Isso está relacionado ao estudo de sequências e transformadas no domínio da Z-transformada. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da Transformada Z e como ela se comporta com somas e produtos de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada Z. A Transformada Z de uma sequência
é definida por:
Esta fórmula transforma uma sequência no domínio do tempo
para o domínio da frequência complexa
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada Z na sequência
:
Substituindo
pela expressão dada no enunciado:
Passo 4
Vamos trocar a ordem das somas. Isso é possível devido à propriedade de linearidade da Transformada Z:
Aqui, estamos fatorando
para fora da soma interna.
Passo 5
Agora, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a expressão. Seja
, então
. Substituindo na soma interna:
A soma dentro do parênteses é exatamente a Transformada Z de
:
Então, a expressão fica:
Passo 6
A soma restante é a Transformada Z de
:
Portanto, temos:
Resposta
A Transformada Z de
é igual ao produto das Transformadas Z de
e
, ou seja: