- Poupança:
,
- Renda:
,
- Consumo:
.
Considere que a família começou com essa renda a partir de
, e que não havia poupança antes deste rendimento.
a) Como pode ser modelado o sinal de entrada
para esse caso;
Considere que a família começou com essa renda a partir de
a) Como pode ser modelado o sinal de entrada
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um modelo que descreve a poupança, renda e consumo de uma família ao longo do tempo, representados pelas equações:
- Poupança:
- Renda:
- Consumo:
A família começou a receber essa renda a partir do período
e não tinha poupança antes disso. A pergunta é sobre como modelar o sinal de entrada
nesse contexto. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de sistemas dinâmicos e modelagem de sinais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um sinal de entrada
. Em sistemas dinâmicos, o sinal de entrada é qualquer influência externa que afeta o comportamento do sistema. No nosso caso,
representa uma fonte externa de renda para a família.
Como a família começou a receber essa renda a partir de
e não tinha poupança antes, isso sugere que
inicia em
e permanece constante ou varia conforme o modelo.
Passo 3
Uma maneira comum de modelar esse tipo de entrada é usar uma função degrau unitário, também conhecida como função Heaviside. Essa função é zero antes de um certo ponto e constante a partir desse ponto. No nosso caso, a família começa a receber renda a partir de
, então podemos modelar
como um degrau unitário que ativa a partir de
.
Matematicamente, isso pode ser representado como:
Onde:
-
é a magnitude do sinal de entrada. -
é a função degrau unitário definida por:
Passo 4
Explicando a escolha da função degrau: como a renda começa a ser recebida a partir de
e não antes, a função degrau modela perfeitamente esse comportamento, pois representa uma mudança súbita de zero para um valor constante no ponto
.
Além disso, se quisermos que a renda seja constante ao longo do tempo após
, multiplicamos a função degrau por
, que será o valor constante da renda inicial.
Resposta
O sinal de entrada
pode ser modelado como uma função degrau unitário ativada a partir de
, representada por:
Onde
é a magnitude da renda inicial e
é a função degrau definida por: