• Poupança: p[k+1]=p[k]+(r[k+1]-c[k+1]),
  • Renda: r[k+1]=ui n+i p[k],
  • Consumo: c[k+1]=j r[k+1].
    Considere que a família começou com essa renda a partir de k=0, e que não havia poupança antes deste rendimento.
    a) Como pode ser modelado o sinal de entrada ui n para esse caso;

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um modelo que descreve a poupança, renda e consumo de uma família ao longo do tempo, representados pelas equações:
  • Poupança:
  • Renda:
  • Consumo:
A família começou a receber essa renda a partir do período e não tinha poupança antes disso. A pergunta é sobre como modelar o sinal de entrada nesse contexto. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de sistemas dinâmicos e modelagem de sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um sinal de entrada . Em sistemas dinâmicos, o sinal de entrada é qualquer influência externa que afeta o comportamento do sistema. No nosso caso, representa uma fonte externa de renda para a família.
Como a família começou a receber essa renda a partir de e não tinha poupança antes, isso sugere que inicia em e permanece constante ou varia conforme o modelo.

Passo 3

Uma maneira comum de modelar esse tipo de entrada é usar uma função degrau unitário, também conhecida como função Heaviside. Essa função é zero antes de um certo ponto e constante a partir desse ponto. No nosso caso, a família começa a receber renda a partir de uin[k] = U cdot u[k] , então podemos modelar u[k] = 0, & se k < 0 1, & se k >= 0 como um degrau unitário que ativa a partir de .
Matematicamente, isso pode ser representado como:
Onde:
  • é a magnitude do sinal de entrada.
  • é a função degrau unitário definida por:

Passo 4

Explicando a escolha da função degrau: como a renda começa a ser recebida a partir de e não antes, a função degrau modela perfeitamente esse comportamento, pois representa uma mudança súbita de zero para um valor constante no ponto .
Além disso, se quisermos que a renda seja constante ao longo do tempo após , multiplicamos a função degrau por , que será o valor constante da renda inicial.

Resposta

O sinal de entrada uin[k] = U cdot u[k] pode ser modelado como uma função degrau unitário ativada a partir de u[k] = 0, & se k < 0 1, & se k >= 0 , representada por:
Onde é a magnitude da renda inicial e é a função degrau definida por:

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