Uma onda com campo elétrico dado por E=E0 sen [k(y-c t)] k incide sobre um polarizador disposto perpendicularmente ao eixo y e cujo eixo de polarização é paralelo à direção do versor u=cos theta i+sen theta k Determine:
a fração da energia da onda que atravessa o polarizador.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma onda eletromagnética com um campo elétrico descrito por E = E0 sin [k(y - ct)] k. Essa onda está chegando em um polarizador que está perpendicular ao eixo y. O eixo de polarização do polarizador está alinhado com o versor u = cos theta i + sin theta k. Nosso objetivo aqui é descobrir qual fração da energia dessa onda passa pelo polarizador.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre polarização de ondas eletromagnéticas e como elas interagem com polarizadores. Vamos dividir isso em passos para facilitar a compreensão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o campo elétrico da onda. A expressão E = E0 sin [k(y - ct)] k nos diz que o campo elétrico está oscilando na direção do versor k, que é a direção z. A amplitude da oscilação é E0, e a onda está se propagando na direção y com uma velocidade relacionada a c e o número de onda k.

Passo 3

Agora, o polarizador está alinhado com o versor u = cos theta i + sin theta k. Isso significa que o polarizador permite que apenas a componente do campo elétrico que está na direção de u passe através dele. Ou seja, o polarizador “filtra” a onda eletromagnética para que apenas parte dela, alinhada com u, passe.

Passo 4

Para encontrar a fração da energia que passa pelo polarizador, primeiro precisamos encontrar a componente do campo elétrico original E que está na direção de u. Isso é feito projetando E em u.
A projeção de E em u é dada por:
Etransmitido = E cdot u
Substituindo as expressões:
Etransmitido = E0 sin [k(y - ct)] k cdot (cos theta i + sin theta k) = E0 sin [k(y - ct)] sin theta
Isso porque k cdot i = 0 e k cdot k = 1.

Passo 5

A energia transportada por uma onda eletromagnética é proporcional ao quadrado da amplitude do campo elétrico. Portanto, a energia transmitida pelo polarizador será proporcional a (Etransmitido)^2:
Energia transmitida propto (E0 sin theta sin [k(y - ct)])^2 = E0^2 sin^2 theta sin^2 [k(y - ct)]

Passo 6

A energia total da onda antes de passar pelo polarizador é proporcional a E0^2 sin^2 [k(y - ct)]. Para encontrar a fração da energia transmitida, dividimos a energia transmitida pela energia total:
Energia transmitidaEnergia total = E0^2 sin^2 theta sin^2 [k(y - ct)]E0^2 sin^2 [k(y - ct)] = sin^2 theta

Resposta

A fração da energia da onda que atravessa o polarizador é sin^2 theta.

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