Uma onda com campo elétrico dado por E(y, t)=E0 cos (k y-omega t) k incide sobre um filtro polarizador disposto perpendicularmente ao eixo y e que tem o eixo de polarização orientado paralelamente à direção do versor do versor u=cos theta imath+sin theta k, sendo theta o ângulo formado entre a direção de polarização do filtro e a direção x.
Mostre que a fração de energia transmitida pelo filtro obedece a lei de Malus.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma onda eletromagnética que incide em um filtro polarizador. A gente vai usar conceitos de polarização da luz e a Lei de Malus para descobrir quanto da energia da onda passa pelo filtro. Basicamente, precisamos entender como a orientação do filtro afeta a energia transmitida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Malus. Essa lei diz que a intensidade da luz que passa por um filtro polarizador depende do ângulo entre a direção da polarização da luz e o eixo do filtro. A fórmula é:
I = I0 cos^2 theta
Onde:
  • $ I $ é a intensidade da luz transmitida.
  • $ I_0 $ é a intensidade inicial da luz.
  • $ \theta $ é o ângulo entre a direção de polarização da luz e o eixo do filtro.

Passo 3

Agora, vamos analisar o campo elétrico da onda dada:
E(y, t) = E0 cos(ky - omega t) k
Aqui, $ \hat{k} $ indica que a direção da polarização da luz é ao longo do eixo z. Mas o filtro está polarizado em uma direção diferente, definida por:
k
Isso significa que o filtro está orientado em um ângulo $ \theta $ em relação ao eixo x.

Passo 4

Para encontrar a componente do campo elétrico que passa pelo filtro, usamos o produto escalar entre $ \vec{E} $ e $ \hat{u} $:
E
Aqui, a componente ao longo de $ \hat{\imath} $ não contribui porque $ \vec{E} $ está na direção $ \hat{k} $.

Passo 5

A energia transmitida é proporcional ao quadrado da amplitude do campo elétrico. Então, a intensidade transmitida $ I $ será:
I
Mas queremos a fração da energia transmitida, então dividimos $ I $ por $ I_0 $:
I = I0 sin^2 theta
Isso parece diferente da Lei de Malus, mas lembre-se que no enunciado a polarização inicial está perpendicular ao eixo y, e consideramos o ângulo $ \theta $ em relação ao eixo x.

Resposta

A fração de energia transmitida pelo filtro obedece a lei de Malus, ou seja:
II0 = cos^2 theta

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