Uma onda é descrita por uma amplitude periódica em coordenadas espaciais e temporais. Matematicamente, a amplitude
tem a propriedade
e
.
é conhecido como comprimento de onda e
é conhecido como período. Se também for sabido que
para cada
, e
é alguma constante, encontre a relação entre
e
em termos de
. Você pode escrever
como uma função de uma única variável que combina
e
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre ondas que variam no espaço e no tempo. A gente precisa entender como o comprimento de onda (
) e o período (
) estão relacionados através de uma constante
. Além disso, queremos saber se a amplitude da onda
pode ser escrita como uma função que depende de uma única combinação de
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de ondas periódicas e propagação de ondas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma onda periódica no espaço e no tempo pode ser descrita por funções que se repetem a cada
no espaço e a cada
no tempo. Isso significa que:
Essas igualdades nos mostram que a onda tem um comportamento cíclico tanto em
quanto em
.
Passo 3
Agora, o enunciado também nos dá uma outra condição:
Isso sugere que se a gente deslocar a onda no espaço em
, é equivalente a deslocá-la no tempo em
. A constante
aqui representa a velocidade da onda.
Passo 4
Vamos tentar encontrar uma relação entre
e
usando as informações que temos. Sabemos que a velocidade de uma onda é dada por:
Essa fórmula relaciona o comprimento de onda
, o período
e a velocidade
da onda. Vamos ver se conseguimos chegar a essa relação a partir das condições dadas.
Passo 5
Vamos considerar uma função de onda que depende de uma combinação linear de
e
. Suponha que:
onde
é o número de onda e
é a frequência angular.
Passo 6
Com essa forma, se deslocarmos
em
, temos:
Isso confirma a periodicidade no espaço.
Passo 7
Analogamente, se deslocarmos
em
:
Confirmando a periodicidade no tempo.
Passo 8
Agora, usando a outra condição dada:
Substituindo a forma da função:
Simplificando:
Passo 9
Para que essa igualdade seja válida para qualquer
e
, os argumentos das funções devem ser iguais:
Cancelando termos iguais:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Passo 10
Lembrando que
e
, substituindo na equação:
Simplificando:
Invertendo ambos os lados:
Resposta
A relação entre o comprimento de onda
e o período
é dada por:
Além disso, a amplitude
pode ser expressa como uma função de uma única variável combinando
e
, por exemplo: