Um torque constante de 25,0 N.m é aplicado a um objeto inicialmente em repouso, cujo momento de inércia é de 0,130 kg cdot m^2. Utilizando princípios de energia, encontre a velocidade angular deste objeto após ter realizado 15,0 revoluções. Despreze o atrito.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um objeto que está em repouso e recebe um torque constante de 25,0 N.m. O momento de inércia desse objeto é de 0,130 kg cdot m^2. Queremos descobrir qual será a velocidade angular desse objeto depois que ele completar 15,0 voltas. Para isso, vamos usar os princípios de energia. Vamos precisar entender como o trabalho feito pelo torque se transforma em energia cinética rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o trabalho realizado pelo torque. Trabalho (W) é a energia usada para mover o objeto, e no caso da rotação, ele é dado pela fórmula:
W = tau cdot theta
Aqui, tau é o torque e theta é o ângulo em radianos que o objeto gira.

Passo 3

Precisamos converter as 15,0 voltas para radianos. Sabemos que uma volta completa tem 2pi radianos. Então:
theta = 15,0 vo

Passo 4

Agora, vamos calcular o trabalho realizado pelo torque:
W = 25,0 , Nm times 30pi , rad = 750pi , J
Esse é o trabalho feito para girar o objeto.

Passo 5

Esse trabalho se transforma em energia cinética rotacional, que é dada por:
KErot = 12 I omega^2
Onde I é o momento de inércia e omega é a velocidade angular que queremos encontrar. Igualando o trabalho à energia cinética:
750pi = 12 times 0,130 times omega^2
Resolvendo para omega:
omega^2 = 750pi times 20,130
omega^2 = 1500pi0,130
omega^2 approx 4712,390,130
omega^2 approx 36248
Então:
omega approx raiz36248
omega approx 190,4 , rad/s

Resposta

A velocidade angular do objeto após 15,0 revoluções é aproximadamente 190,4 , rad/s.

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