Para a onda em espaço livre \mathbf{H}=\hat{x} \bar{H}_{0} e^{j 3 y+j 5 z}, qual é a frequência (Hz)? Em quais direções estão apontando \operatorname{Re}\{\mathbf{S}\} e \operatorname{Im}\{\mathbf{S}\} ? Explique.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo magnético de uma onda plana em espaço livre na forma de fasor
\mathbf{H}=\hat{x}\,\bar{H}_{0}\,e^{\,j\,3\,y + j\,5\,z}
e pede a frequência (em hertz) e as direções de \Re\{\mathbf{S}\} e \Im\{\mathbf{S}\}.
O conteúdo é propagação de onda plana em meio livre, usamos a relação de dispersão \omega = c\|\mathbf{k}\| e a definição do vetor de Poynting em fasor
\mathbf{S}=\tfrac12\,\mathbf{E}\times \mathbf{H}^*.

Passo 2

Identificamos o vetor de onda
\mathbf{k}=3\,\hat{y} + 5\,\hat{z}
cuja magnitude é
\|\mathbf{k}\|=\sqrt{3^2 + 5^2}=\sqrt{34}\,\text{rad/m}.
Em espaço livre a velocidade de fase é c=3\times10^8,m/s, logo
\omega = c\,\|\mathbf{k}\| = 3\times10^8\sqrt{34}\quad\text{(rad/s)}.

Passo 3

A frequência em hertz é
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{3\times10^8\sqrt{34}}{2\pi} \approx 2{,}78\times10^8\\ \text{Hz}.

Passo 4

Para uma onda plana em espaço livre temos a relação entre os fasores
\mathbf{E} = \eta_0\,\hat{k}\times \mathbf{H},
onde
\hat{k}=\frac{\mathbf{k}}{\|\mathbf{k}\|} = \frac{3\,\hat{y}+5\,\hat{z}}{\sqrt{34}},
e \eta_0 é a impedância do vácuo.

Passo 5

O vetor de Poynting em fasor é
\mathbf{S} =\tfrac12\,\mathbf{E}\times \mathbf{H}^* =\frac{\eta_0}{2}\,|\bar{H}_0|^2\,\hat{k}.
Como \hat{k} é real e não há parte imaginária em \mathbf{S}, temos
\Im\{\mathbf{S}\}=\mathbf{0}, \quad \Re\{\mathbf{S}\} \parallel \hat{k}.
Isto significa que a energia transportada (potência ativa) flui na direção de \mathbf{k}, isto é, na direção proporcional a 3\,\hat{y}+5\,\hat{z}.

Resposta

A frequência é
f \approx 2{,}78\times10^8\\ \text{Hz}.
O vetor \Re\{\mathbf{S}\} aponta na direção de propagação da onda, dada por 3\,\hat{y}+5\,\hat{z}, e \Im\{\mathbf{S}\}=\mathbf{0}.

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