(Prova 2025.1) Sabendo que a força numa carga pontual é dada por \overrightarrow{\mathbf{F}}=q \overrightarrow{\mathbf{E}} e que o trabalho para movimentar uma carga na distância \overrightarrow{d \mathbf{l}} é \mathrm{d} \tau=\mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}, deduza (4 pontos):
a. A potência dissipada (W) por um campo elétrico \overrightarrow{\mathbf{E}} para movimentar cargas no volume V , que possui densidade de cargas \rho_{v}. (1 ponto)
b. Partindo da equação a), deduza o teorema de Poynting (2 pontos):
\iiint_{V} \vec{E} \cdot \mathbf{J} \mathrm{~d} V+\iint_{S(V)}(\mathbf{E} \times \mathbf{H}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=-\frac{1}{2} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t} \iiint_{V}[\mathbf{E} \cdot \mathbf{D}+\mathbf{H} \cdot \mathbf{B}] \mathrm{d} V
c. Explique o significado físico de cada termo da equação acima. (1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência que o campo elétrico \mathbf{E} aplica para mover cargas num volume V com densidade de carga \rho_{v}, e em seguida usar essa expressão para obter o teorema de Poynting a partir das equações de Maxwell, explicando cada termo físico. Vamos precisar de \mathbf{J}=\rho_{v}\mathbf{v} (densidade de corrente), das equações de Maxwell–Ampère e de Faraday, e da identidade vetorial
\mathbf{E}\cdot(\nabla\times\mathbf{H})-\mathbf{H}\cdot(\nabla\times\mathbf{E})=\nabla\cdot(\mathbf{E}\times\mathbf{H})\,.

Passo 2

Para a potência instantânea num elemento de carga q temos
\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t}=q\,\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}\,.
Num volume diferencial \mathrm{d}V, a carga é \rho_{v}\,\mathrm{d}V, logo a potência volumétrica é
\rho_{v}\,\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{E}\cdot(\rho_{v}\mathbf{v})=\mathbf{E}\cdot\mathbf{J}.
Integrando sobre V, a potência total dissipada é
\mathcal{P}=\iiint_{V}\mathbf{E}\cdot\mathbf{J}\,\mathrm{d}V.

Passo 3

Para derivar o teorema de Poynting, usamos \nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} e \nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}.
Então
\mathbf{E}\cdot\mathbf{J} =\mathbf{E}\cdot\bigl(\nabla\times\mathbf{H}\bigr) -\mathbf{E}\cdot\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}.
Aplicando a identidade vetorial,
\mathbf{E}\cdot(\nabla\times\mathbf{H}) =\nabla\cdot(\mathbf{E}\times\mathbf{H}) +\mathbf{H}\cdot(\nabla\times\mathbf{E}) =\nabla\cdot(\mathbf{E}\times\mathbf{H}) -\mathbf{H}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\,.
Logo
\mathbf{E}\cdot\mathbf{J} =\nabla\cdot(\mathbf{E}\times\mathbf{H}) -\mathbf{E}\cdot\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} -\mathbf{H}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}.
Integramos sobre V e aplicamos o teorema da divergência em \nabla\cdot(\mathbf{E}\times\mathbf{H}):
\iiint_{V}\mathbf{E}\cdot\mathbf{J}\,\mathrm{d}V =\iint_{S(V)}(\mathbf{E}\times\mathbf{H})\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} -\iiint_{V}\Bigl[\mathbf{E}\cdot\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} +\mathbf{H}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\Bigr]\mathrm{d}V.
Reconhecendo que
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl[\tfrac12(\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}+\mathbf{H}\cdot\mathbf{B})\bigr] =\mathbf{E}\cdot\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} +\mathbf{H}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},
chegamos a
\iiint_{V}\mathbf{E}\cdot\mathbf{J}\,\mathrm{d}V +\iint_{S(V)}(\mathbf{E}\times\mathbf{H})\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} =-\tfrac12\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\iiint_{V} \bigl[\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}+\mathbf{H}\cdot\mathbf{B}\bigr]\mathrm{d}V.

Passo 4

O significado físico de cada termo é:
\displaystyle \iiint_{V}\mathbf{E}\cdot\mathbf{J}\,\mathrm{d}V: potência dissipada pelas correntes (efeito Joule).
\displaystyle \iint_{S(V)}(\mathbf{E}\times\mathbf{H})\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}: fluxo de energia eletromagnética que sai (ou entra) pelo contorno S(V) (vetor de Poynting).
\displaystyle -\tfrac12\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\iiint_{V}[\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}+\mathbf{H}\cdot\mathbf{B}]\,\mathrm{d}V: taxa de variação da energia armazenada nos campos elétrico e magnético dentro de V.

Resposta

a) \displaystyle \mathcal{P}=\iiint_{V}\mathbf{E}\cdot\mathbf{J}\,\mathrm{d}V. b) \iiint_{V}\mathbf{E}\cdot\mathbf{J}\,\mathrm{d}V +\iint_{S(V)}(\mathbf{E}\times\mathbf{H})\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} =-\tfrac12\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \iiint_{V}\bigl[\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}+\mathbf{H}\cdot\mathbf{B}\bigr]\mathrm{d}V.
c) O primeiro termo é a potência dissipada por Joule, o segundo é o fluxo de energia eletromagnética (vetor de Poynting) através da superfície, e o terceiro é a taxa de variação da energia armazenada nos campos.

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