(Prova 2025.1) Sabendo que a força numa carga pontual é dada por \overrightarrow{\mathbf{F}}=q \overrightarrow{\mathbf{E}} e que o trabalho para movimentar uma carga na distância \overrightarrow{d \mathbf{l}} é \mathrm{d} \tau=\mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}, deduza (4 pontos):
a. A potência dissipada (W) por um campo elétrico \overrightarrow{\mathbf{E}} para movimentar cargas no volume V , que possui densidade de cargas \rho_{v}. (1 ponto)
b. Partindo da equação a), deduza o teorema de Poynting (2 pontos):
\iiint_{V} \vec{E} \cdot \mathbf{J} \mathrm{~d} V+\iint_{S(V)}(\mathbf{E} \times \mathbf{H}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=-\frac{1}{2} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t} \iiint_{V}[\mathbf{E} \cdot \mathbf{D}+\mathbf{H} \cdot \mathbf{B}] \mathrm{d} V
c. Explique o significado físico de cada termo da equação acima. (1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado diz que a força numa carga pontual é \mathbf{F}=q\,\mathbf{E} e que o trabalho elementar é \mathrm{d}\tau=\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{l}. Pede:
(a) potência dissipada por um campo elétrico num volume V com densidade de carga \rho_{v};
(b) a partir desse resultado, deduzir o teorema de Poynting
\iiint_{V}\mathbf{E}\cdot\mathbf{J}\,\mathrm{d}V +\iint_{S(V)}(\mathbf{E}\times\mathbf{H})\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} =-\tfrac12\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\iiint_{V}\bigl[\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}+\mathbf{H}\cdot\mathbf{B}\bigr]\mathrm{d}V
(c) explicar fisicamente cada termo.
Conteúdo: eletromagnetismo, potência, densidade de corrente, identidades vetoriais, Maxwell e Poynting.

Passo 2

Para uma única carga q movendo-se com velocidade \mathbf{v}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{l}}{\mathrm{d}t}, a potência instantânea é
\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t} =\mathbf{F}\cdot\mathbf{v} =q\,\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}.
Num meio contínuo, definimos densidade de corrente \mathbf{J}=\rho_{v}\,\mathbf{v}. Assim, a potência por volume é \mathbf{E}\cdot\mathbf{J} e, integrando em V, obtemos
P =\iiint_{V}\mathbf{E}\cdot\mathbf{J}\,\mathrm{d}V.

Passo 3

Para avançar ao teorema de Poynting, usamos a lei de Ampère–Maxwell
\nabla\times\mathbf{H} =\mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{J} =\nabla\times\mathbf{H} -\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}.
Logo
\iiint_{V}\mathbf{E}\cdot\mathbf{J}\,\mathrm{d}V =\iiint_{V}\mathbf{E}\cdot(\nabla\times\mathbf{H})\,\mathrm{d}V -\iiint_{V}\mathbf{E}\cdot\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\,\mathrm{d}V.

Passo 4

Aplicamos a identidade vetorial
\nabla\cdot(\mathbf{E}\times\mathbf{H}) =\mathbf{H}\cdot(\nabla\times\mathbf{E}) -\mathbf{E}\cdot(\nabla\times\mathbf{H}) \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{E}\cdot(\nabla\times\mathbf{H}) =\mathbf{H}\cdot(\nabla\times\mathbf{E}) -\nabla\cdot(\mathbf{E}\times\mathbf{H}).
Pela lei de Faraday \nabla\times\mathbf{E}=-\partial\mathbf{B}/\partial t, então
\mathbf{E}\cdot(\nabla\times\mathbf{H}) =-\mathbf{H}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} -\nabla\cdot(\mathbf{E}\times\mathbf{H}).

Passo 5

Substituindo na integral de E\cdot J:
\begin{aligned} \iiint_{V}\mathbf{E}\cdot\mathbf{J}\,\mathrm{d}V &= -\iiint_{V}\mathbf{H}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\,\mathrm{d}V -\iiint_{V}\nabla\cdot(\mathbf{E}\times\mathbf{H})\,\mathrm{d}V -\iiint_{V}\mathbf{E}\cdot\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\,\mathrm{d}V\\\ &= -\iiint_{V}\Bigl(\mathbf{E}\cdot\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} +\mathbf{H}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\Bigr)\mathrm{d}V -\iiint_{V}\nabla\cdot(\mathbf{E}\times\mathbf{H})\,\mathrm{d}V. \end{aligned}

Passo 6

Pelo teorema da divergência,
\iiint_{V}\nabla\cdot(\mathbf{E}\times\mathbf{H})\,\mathrm{d}V =\iint_{S(V)}(\mathbf{E}\times\mathbf{H})\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}.
E notamos que
\mathbf{E}\cdot\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} +\mathbf{H}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} =\frac{\partial}{\partial t} \bigl(\tfrac12\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}+\tfrac12\mathbf{H}\cdot\mathbf{B}\bigr).
Reagrupando,
\iiint_{V}\mathbf{E}\cdot\mathbf{J}\,\mathrm{d}V +\iint_{S(V)}(\mathbf{E}\times\mathbf{H})\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} =-\frac12\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \iiint_{V}\bigl[\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}+\mathbf{H}\cdot\mathbf{B}\bigr]\mathrm{d}V,
que é exatamente o teorema de Poynting.

Passo 7

Significado físico de cada termo na forma integral:
\displaystyle\iiint_{V}\mathbf{E}\cdot\mathbf{J}\,\mathrm{d}V: potência dissipada (calor ou trabalho) entregue pelo campo elétrico às cargas dentro de V.
\displaystyle\iint_{S(V)}(\mathbf{E}\times\mathbf{H})\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}: fluxo de energia eletromagnética (densidade de fluxo de Poynting) que sai (ou entra, se for negativo) pela superfície S(V).
-\tfrac12\mathrm{d}/\mathrm{d}t\!\!\displaystyle\iiint_{V}[\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}+\mathbf{H}\cdot\mathbf{B}]\,\mathrm{d}V: taxa de variação da energia armazenada nos campos elétrico e magnético dentro de V.

Resposta

(a) \displaystyle P=\iiint_{V}\mathbf{E}\cdot\mathbf{J}\,\mathrm{d}V.
(b) \displaystyle\iiint_{V}\mathbf{E}\cdot\mathbf{J}\,\mathrm{d}V +\iint_{S(V)}(\mathbf{E}\times\mathbf{H})\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} =-\tfrac12\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \iiint_{V}\bigl[\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}+\mathbf{H}\cdot\mathbf{B}\bigr]\mathrm{d}V.
(c)
\iiint_{V}\mathbf{E}\cdot\mathbf{J}\,\mathrm{d}V: potência dissipada nas cargas em V.
\iint_{S(V)}(\mathbf{E}\times\mathbf{H})\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}: energia que flui pela superfície S(V).
-\tfrac12\mathrm{d}/\mathrm{d}t\!\!\iiint_{V}[\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}+\mathbf{H}\cdot\mathbf{B}]\,\mathrm{d}V: variação da energia armazenada nos campos.

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