(Prova 2025.1) Sabendo que a força numa carga pontual é dada por
e que o trabalho para movimentar uma carga na distância
é
, deduza (4 pontos):
a. A potência dissipada (W) por um campo elétrico
para movimentar cargas no volume V , que possui densidade de cargas
. (1 ponto)
b. Partindo da equação a), deduza o teorema de Poynting (2 pontos):
c. Explique o significado físico de cada termo da equação acima.
ponto)
a. A potência dissipada (W) por um campo elétrico
b. Partindo da equação a), deduza o teorema de Poynting (2 pontos):
Passo 1
O enunciado diz que a força numa carga pontual é
e que o trabalho elementar é
. Pede:
(a) potência dissipada por um campo elétrico num volume com densidade de carga
;
(b) a partir desse resultado, deduzir o teorema de Poynting
(a) potência dissipada por um campo elétrico num volume
(b) a partir desse resultado, deduzir o teorema de Poynting
(c) explicar fisicamente cada termo.
Conteúdo: eletromagnetismo, potência, densidade de corrente, identidades vetoriais, Maxwell e Poynting.
Conteúdo: eletromagnetismo, potência, densidade de corrente, identidades vetoriais, Maxwell e Poynting.
Passo 2
Para uma única carga
movendo-se com velocidade
, a potência instantânea é
Num meio contínuo, definimos densidade de corrente
. Assim, a potência por volume é
e, integrando em
, obtemos
Passo 3
Para avançar ao teorema de Poynting, usamos a lei de Ampère–Maxwell
Logo
Passo 4
Aplicamos a identidade vetorial
Pela lei de Faraday
, então
Passo 5
Substituindo na integral de
:
Passo 6
Pelo teorema da divergência,
E notamos que
Reagrupando,
que é exatamente o teorema de Poynting.
Passo 7
Significado físico de cada termo na forma integral:
• : potência dissipada (calor ou trabalho) entregue pelo campo elétrico às cargas dentro de
.
• : fluxo de energia eletromagnética (densidade de fluxo de Poynting) que sai (ou entra, se for negativo) pela superfície
.
• : taxa de variação da energia armazenada nos campos elétrico e magnético dentro de
.
•
•
•
Resposta
(a)
(b)
(c)
– : potência dissipada nas cargas em
.
– : energia que flui pela superfície
.
– : variação da energia armazenada nos campos.
(b)
(c)
–
–
–