Uma onda plana propagando-se em um meio dielétrico sem perdas tem campo elétrico dado por
com uma frequência de
e comprimento de onda no material de
. Determine a constante de propagação, a velocidade de fase, a permissividade relativa do meio e a impedância de onda. Analise os resultados, comparando com os resultados com os obtidos para o espaço livre.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
- Dados fornecidos:
- Campo elétrico
. - Frequência:
. - Comprimento de onda no material:
. - O meio é dielétrico sem perdas (portanto não há condutividade e as grandezas são reais).
- Campo elétrico
- O que o enunciado pede:
- Determinar a constante de propagação (neste caso, a parte real que é
), a velocidade de fase , a permissividade relativa do meio e a impedância de onda . - Comparar os resultados com os do espaço livre.
- Determinar a constante de propagação (neste caso, a parte real que é
Observação importante (assunção física usada): como só foi dito “meio dielétrico sem perdas” assumimos que o meio é não magnético, i.e.,
. Se
os resultados para
e
mudariam.
Passo 2
Constante de propagação (fase)
.
- Conceito curto: para uma onda plana harmônica no eixo
a fase espacial é dada por . Em meios sem perdas a constante de propagação real é . - Fórmula e definição das variáveis:
onde é o comprimento de onda no meio (em metros). - Cálculo com os números dados:
Calculando: - Resultado arredondado:
Passo 3
Velocidade de fase
.
- Conceito curto: velocidade de fase é a velocidade com que uma fase constante da onda (por exemplo, um máximo) se desloca. Para onda harmônica:
onde é a frequência angular. - Mas há uma relação mais direta muito útil:
. Vou usar essa forma porque é simples para cálculo sem calculadora: Onde está em e em , resultando em . - Cálculo:
- Resultado:
Passo 4
Permissividade relativa
.
- Conceito curto e fórmula: a velocidade de fase em um meio não magnético relaciona-se com a permissividade relativa por
Como assumimos , onde é a velocidade da luz no vácuo, . - Cálculo passo a passo:
Elevando ao quadrado: - Arredondando de forma conveniente:
- Interpretação curta:
próximo de indica que o meio tem aproximadamente quatro vezes a permissividade do vácuo — a onda “vê” um meio mais ‘capacitante’ e por isso sua velocidade é menor que .
Passo 5
Impedância de onda
.
- Conceito curto e fórmula: a impedância característica de uma onda eletromagnética em um meio homogêneo, não condutor, é
onde é a impedância do espaço livre. Para : - Cálculo:
- Arredondando:
- Interpretação: a impedância da onda no meio é menor que a do vácuo (aprox.
) por um fator . Isso altera a relação entre componentes elétricos e magnéticos da onda.
Passo 6
Comparação com o espaço livre e interpretação física.
- Valores no espaço livre para
: - Comprimento de onda no vácuo:
- Constante de propagação no vácuo:
- Velocidade de fase no vácuo:
. - Permissividade relativa no vácuo:
. - Impedância no vácuo:
.
- Comprimento de onda no vácuo:
- Comparações numéricas e físicas:
-
no meio ( ) é aproximadamente o dobro de ( ). Isso faz sentido porque o comprimento de onda no meio ( ) é metade do comprimento de onda no vácuo ( ). -
no meio ( ) é a metade aproximada da velocidade da luz . Isso vem de , pois . - A impedância
no meio ( ) é aproximadamente metade da impedância do vácuo ( ), conforme .
-
- Interpretação intuitiva e aplicação prática:
- O meio com
“retarda” a onda (menor ) e encurta a . Em guias ou antenas isso altera ressonâncias e acoplamento. - A redução da impedância significa que, para a mesma intensidade de campo elétrico, o campo magnético é maior do que no vácuo (porque
e diminuiu). Em projetos práticos isso afeta o casamento de impedâncias entre dispositivos.
- O meio com