Uma onda plana propagando-se em um meio dielétrico sem perdas tem campo elétrico dado por E_{x}= E_{0} \cos (\omega t-\beta z) \underline{\hat{\imath}} \mathrm{V} / \mathrm{m} com uma frequência de 5,0 \mathrm{GHz} e comprimento de onda no material de 3,0 \mathrm{~cm}. Determine a constante de propagação, a velocidade de fase, a permissividade relativa do meio e a impedância de onda. Analise os resultados, comparando com os resultados com os obtidos para o espaço livre.
\mathrm{R}: k=209.44 \frac{1}{m} \quad v_{p}=1.5 \times 10^{8} \frac{m}{s} \quad \epsilon_{r}=3.995 \quad \eta=188.495 \Omega

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • Campo elétrico E_x = E_0 \cos\bigl(\omega t - \beta z\bigr)\,\hat{\imath}\\ \mathrm{V/m}.
    • Frequência: f = 5,0\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.
    • Comprimento de onda no material: \lambda = 3,0\\ \mathrm{cm} = 0,03\\ \mathrm{m}.
    • O meio é dielétrico sem perdas (portanto não há condutividade e as grandezas são reais).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a constante de propagação (neste caso, a parte real que é \beta), a velocidade de fase v_p, a permissividade relativa \epsilon_r do meio e a impedância de onda \eta.
    • Comparar os resultados com os do espaço livre.
Observação importante (assunção física usada): como só foi dito “meio dielétrico sem perdas” assumimos que o meio é não magnético, i.e., \mu_r = 1. Se \mu_r\neq1 os resultados para \epsilon_r e \eta mudariam.

Passo 2

Constante de propagação (fase) \beta.
  • Conceito curto: para uma onda plana harmônica no eixo z a fase espacial é dada por \beta z. Em meios sem perdas a constante de propagação real é \beta = \dfrac{2\pi}{\lambda}.
  • Fórmula e definição das variáveis: \beta = \frac{2\pi}{\lambda},onde \lambda é o comprimento de onda no meio (em metros).
  • Cálculo com os números dados: \beta = \frac{2\pi}{0,03\\ \mathrm{m}}.Calculando: \beta \approx \frac{6,283185307}{0,03}=209,4395107\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Resultado arredondado: \beta \approx 209,44\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 3

Velocidade de fase v_p.
  • Conceito curto: velocidade de fase é a velocidade com que uma fase constante da onda (por exemplo, um máximo) se desloca. Para onda harmônica: v_p = \frac{\omega}{\beta},onde \omega = 2\pi f é a frequência angular.
  • Mas há uma relação mais direta muito útil: v_p = f\lambda. Vou usar essa forma porque é simples para cálculo sem calculadora: v_p = f\lambda.Onde f está em \mathrm{Hz} e \lambda em \mathrm{m}, resultando em \mathrm{m/s}.
  • Cálculo: v_p = (5,0\times10^{9}\\ \mathrm{Hz})\times(0,03\\ \mathrm{m})=1,5\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Resultado: v_p = 1,5\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Permissividade relativa \epsilon_r.
  • Conceito curto e fórmula: a velocidade de fase em um meio não magnético relaciona-se com a permissividade relativa por v_p = \frac{c}{\sqrt{\epsilon_r \mu_r}}.Como assumimos \mu_r=1, v_p = \frac{c}{\sqrt{\epsilon_r}} \quad\Longrightarrow\quad \epsilon_r = \left(\frac{c}{v_p}\right)^2,onde c é a velocidade da luz no vácuo, c \approx 2,99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Cálculo passo a passo: \frac{c}{v_p}=\frac{2,99792458\times10^{8}}{1,5\times10^{8}}\approx 1,9986163867.Elevando ao quadrado: \epsilon_r \approx (1,9986163867)^2 \approx 3,994467\ldots
  • Arredondando de forma conveniente: \epsilon_r \approx 3,995.
  • Interpretação curta: \epsilon_r próximo de 4 indica que o meio tem aproximadamente quatro vezes a permissividade do vácuo — a onda “vê” um meio mais ‘capacitante’ e por isso sua velocidade é menor que c.

Passo 5

Impedância de onda \eta.
  • Conceito curto e fórmula: a impedância característica de uma onda eletromagnética em um meio homogêneo, não condutor, é \eta = \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} = \eta_0\sqrt{\frac{\mu_r}{\epsilon_r}},onde \eta_0=\sqrt{\mu_0/\epsilon_0}=120\pi\approx376,9911184\\ \Omega é a impedância do espaço livre. Para \mu_r=1: \eta = \frac{\eta_0}{\sqrt{\epsilon_r}}.
  • Cálculo: \sqrt{\epsilon_r}\approx\sqrt{3,994467}\approx1,9986163867.
\eta = \frac{120\pi}{1,9986163867}\approx\frac{376,9911184}{1,9986163867}\approx188,4945569\\ \Omega.
  • Arredondando: \eta \approx 188,495\\ \Omega.
  • Interpretação: a impedância da onda no meio é menor que a do vácuo (aprox. 377\\ \Omega) por um fator 1/\sqrt{\epsilon_r}. Isso altera a relação entre componentes elétricos e magnéticos da onda.

Passo 6

Comparação com o espaço livre e interpretação física.
  • Valores no espaço livre para f=5,0\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}:
    • Comprimento de onda no vácuo: \lambda_0 = \frac{c}{f} \approx \frac{2,99792458\times10^{8}}{5,0\times10^{9}} \approx 0,0599585\\ \mathrm{m}\approx 5,996\\ \mathrm{cm}.
    • Constante de propagação no vácuo: \beta_0=\frac{2\pi}{\lambda_0}\approx\frac{2\pi}{0,0599585}\approx104,719755\\ \mathrm{m^{-1}}.
    • Velocidade de fase no vácuo: v_{p0}=c\approx2,9979\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
    • Permissividade relativa no vácuo: \epsilon_{r0}=1.
    • Impedância no vácuo: \eta_0\approx376,991\\ \Omega.
  • Comparações numéricas e físicas:
    • \beta no meio ( \approx209,44\\ \mathrm{m^{-1}}) é aproximadamente o dobro de \beta_0 ( \approx104,72\\ \mathrm{m^{-1}}). Isso faz sentido porque o comprimento de onda no meio ( 3\\ \mathrm{cm}) é metade do comprimento de onda no vácuo ( \approx6\\ \mathrm{cm}).
    • v_p no meio ( 1,5\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}) é a metade aproximada da velocidade da luz c. Isso vem de \epsilon_r\approx4, pois v_p = c/\sqrt{\epsilon_r}.
    • A impedância \eta no meio ( \approx188,495\\ \Omega) é aproximadamente metade da impedância do vácuo ( \approx377\\ \Omega), conforme \eta = \eta_0/\sqrt{\epsilon_r}.
  • Interpretação intuitiva e aplicação prática:
    • O meio com \epsilon_r\approx4 “retarda” a onda (menor v_p) e encurta a \lambda. Em guias ou antenas isso altera ressonâncias e acoplamento.
    • A redução da impedância significa que, para a mesma intensidade de campo elétrico, o campo magnético é maior do que no vácuo (porque E/H=\eta e \eta diminuiu). Em projetos práticos isso afeta o casamento de impedâncias entre dispositivos.

Resposta

\beta = 209,44\\ \mathrm{m^{-1}}
v_{p} = 1,5\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}
\epsilon_{r} = 3,995
\eta = 188,495\\ \Omega

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