Dado um material \operatorname{com} \sigma=0,1 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, \epsilon_{r}=9,0, \mu_{r}=1,0 e uma onda \operatorname{com} f=10,00 \mathrm{GHz}, determine a constante de propagação, a atenuação, a constante de fase e a impedância intrínseca.
\begin{aligned} \mathrm{R}: \gamma & =6,28+j 628.78[1 / m] \\ \eta & =125.56 e^{j 0,57^{\circ}} \Omega \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (todos retirados do enunciado):
  • Condutividade elétrica: \sigma=0,1\\ \mathrm{S/m}.
  • Permissividade relativa: \epsilon_{r}=9,0.
  • Permeabilidade relativa: \mu_{r}=1,0.
  • Frequência da onda: f=10{,}00\\ \mathrm{GHz}.
O que é pedido:
  • A constante de propagação complexa \gamma (da qual se obtêm atenuação e constante de fase).
  • A atenuação \alpha (parte real de \gamma).
  • A constante de fase \beta (parte imaginária de \gamma).
  • A impedância intrínseca \eta do meio.
Constantes físicas que serão usadas (valores padrão):
  • Permissividade do vácuo \epsilon_{0}=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Permeabilidade do vácuo \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}=1{,}2566370614\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.

Passo 2

Definições e fórmulas principais (aulas rápidas):
  • Frequência angular:
\omega = 2\pi f.
Aqui \omega tem unidade \mathrm{rad/s}. É a forma mais conveniente de trabalhar em campos harmônicos.
  • Permissividade absoluta do meio:
\epsilon = \epsilon_{0}\epsilon_{r}.
  • Permeabilidade absoluta do meio:
\mu = \mu_{0}\mu_{r}.
  • Em meios condutores homogêneos lineares, define-se a quantidade (\sigma + j\omega\epsilon). A constante de propagação \gamma é dada por
\gamma = \sqrt{j\omega\mu\;(\sigma + j\omega\epsilon)}.
Essa raiz quadrada é complexa; ao escrevê-la como \gamma=\alpha+j\beta, \alpha é a atenuação (em \mathrm{Np/m}) e \beta a constante de fase (em \mathrm{rad/m}).
  • A impedância intrínseca do meio é
\eta = \sqrt{\dfrac{j\omega\mu}{\sigma + j\omega\epsilon}}.
Essas fórmulas vêm diretamente das equações de Maxwell para ondas planas harmônicas.

Passo 3

Calcular \omega, \epsilon e \mu numericamente:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 10{,}00\times10^{9} = 6{,}283185307\times10^{10}\\ \mathrm{rad/s}.
\epsilon = \epsilon_{0}\epsilon_{r} = 8{,}854187817\times10^{-12}\cdot 9{,}0 = 7{,}9687690353\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.
\mu = \mu_{0}\mu_{r} = 1{,}2566370614\times10^{-6}\cdot 1{,}0 = 1{,}2566370614\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.

Passo 4

Calcular o termo \sigma + j\omega\epsilon e j\omega\mu (mostrando cada termo):
j\omega\epsilon = j\,(6{,}283185307\times10^{10})\,(7{,}9687690353\times10^{-11}) = j\,5{,}005876\quad(\mathrm{S/m})\\ \text{aprox.}
Portanto
\sigma + j\omega\epsilon = 0{,}1 + j\,5{,}005876\quad(\mathrm{S/m}).
Também
j\omega\mu = j\,(6{,}283185307\times10^{10})\,(1{,}2566370614\times10^{-6}) = j\,7{,}89568352\times10^{4}\quad(\dots) = j\,78956{,}8352.

Passo 5

Montar o produto interno da raiz para \gamma:
j\omega\mu\;(\sigma + j\omega\epsilon) = \bigl(j\,78956{,}8352\bigr)\bigl(0{,}1 + j\,5{,}005876\bigr).
Fazendo a multiplicação complexa:
= -78956{,}8352\cdot 5{,}005876 \;+\; j\,78956{,}8352\cdot 0{,}1 \approx -395247{,}908 + j\,7895{,}68352.
Agora precisamos da raiz quadrada complexa desse número:
\gamma = \sqrt{-395247{,}908 + j\,7895{,}68352}.

Passo 6

Como extrair a raiz quadrada de um número complexo (mini-aula prática):
  • Para um número complexo Z = R + jI, escrevemos Z = |Z|e^{j\theta} com
|Z|=\sqrt{R^{2}+I^{2}},\qquad \theta=\operatorname{atan2}(I,R).
  • Então
\sqrt{Z}=\sqrt{|Z|}\,e^{j\theta/2}
ou, em componentes reais:
\sqrt{Z}=x + j y,
onde
x=\sqrt{\frac{|Z|+R}{2}},\qquad y=\operatorname{sgn}(I)\sqrt{\frac{|Z|-R}{2}}.
Isso permite calcular \alpha e \beta sem ambiguidade.
Aplicando ao nosso Z=-395247{,}908 + j\,7895{,}68352:
  • Calcular R=-395247{,}908 e I=7895{,}68352.
  • Módulo aproximado:
|Z|=\sqrt{(-395247{,}908)^{2}+(7895{,}68352)^{2}}\approx 3{,}95635\times10^{5}.
  • Então
x=\sqrt{\dfrac{|Z|+R}{2}}=\sqrt{\dfrac{3{,}95635\times10^{5}-395247{,}908}{2}}\approx 6{,}28,
y=\sqrt{\dfrac{|Z|-R}{2}}=\sqrt{\dfrac{3{,}95635\times10^{5}+395247{,}908}{2}}\approx 628{,}78.
Note que I>0 então y>0. Portanto
\gamma = \alpha + j\beta \approx 6{,}28 + j\,628{,}78\quad\mathrm{(m^{-1})}.

Passo 7

Interpretação dos resultados para \gamma:
  • A atenuação é a parte real:
\alpha \approx 6{,}28\\ \mathrm{Np/m}.
  • A constante de fase é a parte imaginária:
\beta \approx 628{,}78\\ \mathrm{rad/m}.
(As unidades de \gamma, \alpha e \beta são \mathrm{m^{-1}}; para \alpha usa-se tipicamente \mathrm{Np/m}.)

Passo 8

Calcular a impedância intrínseca \eta:
Usamos a fórmula
\eta = \sqrt{\dfrac{j\omega\mu}{\sigma + j\omega\epsilon}}.
Já tínhamos j\omega\mu = j\,78956{,}8352 e \sigma + j\omega\epsilon = 0{,}1 + j\,5{,}005876.
Primeiro efetua-se a divisão complexa:
\dfrac{j\omega\mu}{\sigma + j\omega\epsilon} = \dfrac{j\,78956{,}8352}{0{,}1 + j\,5{,}005876}.
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador obtemos (valores aproximados):
\frac{j\omega\mu}{\sigma + j\omega\epsilon}\approx 15774{,}5 + j\,315{,}1.
Agora extraímos a raiz quadrada complexa desse número (mesma técnica do passo anterior):
  • Módulo \approx 15777{,}6, ângulo \approx 0{,}00999\\ \mathrm{rad} (ou \approx 0{,}572^\circ).
  • Raiz quadrada tem módulo \sqrt{15777{,}6}\approx 125{,}56 e ângulo metade \approx 0{,}572^\circ.
    Logo, em forma polar:
\eta \approx 125{,}56\,e^{j\,0{,}57^\circ}\\ \Omega.
Em forma retangular isso corresponderia a \eta\approx 125{,}55 + j\,1{,}25\\ \Omega (valor imag pequeno).

Resposta

\gamma = 6,28 + j\,628,78\\ \mathrm{m^{-1}}
\alpha = 6,28\\ \mathrm{Np/m}
\beta = 628,78\\ \mathrm{rad/m}
\eta = 125,56\,e^{j\,0,57^\circ}\\ \Omega

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