Dado um material
e uma onda
, determine a constante de propagação, a atenuação, a constante de fase e a impedância intrínseca.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (todos retirados do enunciado):
- Condutividade elétrica:
. - Permissividade relativa:
. - Permeabilidade relativa:
. - Frequência da onda:
.
O que é pedido:
- A constante de propagação complexa
(da qual se obtêm atenuação e constante de fase). - A atenuação
(parte real de ). - A constante de fase
(parte imaginária de ). - A impedância intrínseca
do meio.
Constantes físicas que serão usadas (valores padrão):
- Permissividade do vácuo
. - Permeabilidade do vácuo
.
Passo 2
Definições e fórmulas principais (aulas rápidas):
- Frequência angular:
Aqui
tem unidade
. É a forma mais conveniente de trabalhar em campos harmônicos.
- Permissividade absoluta do meio:
- Permeabilidade absoluta do meio:
- Em meios condutores homogêneos lineares, define-se a quantidade
. A constante de propagação é dada por
Essa raiz quadrada é complexa; ao escrevê-la como
,
é a atenuação (em
) e
a constante de fase (em
).
- A impedância intrínseca do meio é
Essas fórmulas vêm diretamente das equações de Maxwell para ondas planas harmônicas.
Passo 3
Calcular
,
e
numericamente:
Passo 4
Calcular o termo
e
(mostrando cada termo):
Portanto
Também
Passo 5
Montar o produto interno da raiz para
:
Fazendo a multiplicação complexa:
Agora precisamos da raiz quadrada complexa desse número:
Passo 6
Como extrair a raiz quadrada de um número complexo (mini-aula prática):
- Para um número complexo
, escrevemos com
- Então
ou, em componentes reais:
onde
Isso permite calcular
e
sem ambiguidade.
Aplicando ao nosso
:
- Calcular
e . - Módulo aproximado:
- Então
Note que
então
. Portanto
Passo 7
Interpretação dos resultados para
:
- A atenuação é a parte real:
- A constante de fase é a parte imaginária:
(As unidades de
,
e
são
; para
usa-se tipicamente
.)
Passo 8
Calcular a impedância intrínseca
:
Usamos a fórmula
Usamos a fórmula
Já tínhamos
e
.
Primeiro efetua-se a divisão complexa:
Primeiro efetua-se a divisão complexa:
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador obtemos (valores aproximados):
Agora extraímos a raiz quadrada complexa desse número (mesma técnica do passo anterior):
- Módulo
, ângulo (ou ). - Raiz quadrada tem módulo
e ângulo metade .
Logo, em forma polar:
Em forma retangular isso corresponderia a
(valor imag pequeno).