Determine a constante de atenuação, constante de fase e a impedância intrínseca da água destilada em 1,0 \mathrm{GHz}.
\begin{aligned} \mathrm{R}: \gamma & =37.72+j 1887 \quad[1 / m] \\ \eta & =41,84 e^{j 1.14^{\circ}} \Omega \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede três coisas claramente:
  • Determinar a constante de atenuação (α) da água destilada em 1{,}0\\ \mathrm{GHz}.
  • Determinar a constante de fase (β) da água destilada em 1{,}0\\ \mathrm{GHz}.
  • Determinar a impedância intrínseca \eta da água destilada em 1{,}0\\ \mathrm{GHz}.
As informações fornecidas no enunciado (valores dados) são:
  • A constante de propagação complexa \gamma já foi fornecida como \gamma = 37{,}72 + j\,1887\\ \\ [1/\mathrm{m}].
  • A impedância intrínseca foi dada na forma polar como \eta = 41{,}84\,e^{j\,1{,}14^\circ}\\ \Omega.

Passo 2

O que é a constante de propagação \gamma e como extrair \alpha e \beta.
  • A constante de propagação complexa é definida por
\gamma = \alpha + j\beta,
onde:
  • \alpha é a constante de atenuação, medida em \mathrm{Np}/\mathrm{m} (neper por metro). Ela indica quanto a amplitude da onda decai por unidade de comprimento.
  • \beta é a constante de fase, medida em \mathrm{rad}/\mathrm{m}. Ela determina a variação da fase por unidade de comprimento (logo está ligada ao comprimento de onda no meio).
  • Se \gamma é dada em forma rectangular (parte real + j parte imaginária), então:
    • \alpha = \Re(\gamma),
    • \beta = \Im(\gamma).
Aplicando isso ao valor fornecido \gamma = 37{,}72 + j\,1887:
\alpha = 37{,}72\\ \mathrm{Np/m}, \qquad \beta = 1887\\ \mathrm{rad/m}.
  • Conversão prática (útil para provas): para transformar \alpha de \mathrm{Np}/\mathrm{m} para \mathrm{dB}/\mathrm{m} usa-se
1\\ \mathrm{Np} = 8{,}686\\ \mathrm{dB}.
Logo
\alpha_{\mathrm{dB/m}} = \alpha\cdot 8{,}686 = 37{,}72 \times 8{,}686 \approx 327{,}64\\ \mathrm{dB/m}.
(Esse valor mostra que a água destilada é fortemente atenuante a 1{,}0\\ \mathrm{GHz}.)

Passo 3

Interpretação adicional de \beta: comprimento de onda e velocidade de fase (dica prática).
  • Comprimento de onda no meio \lambda relaciona-se com \beta por
\lambda = \frac{2\pi}{\beta}.
Substituindo \beta=1887\\ \mathrm{rad/m},
\lambda = \frac{2\pi}{1887} \approx 0{,}003329\\ \mathrm{m} = 3{,}33\\ \mathrm{mm}.
  • Velocidade de fase v_p é dada por
v_p = \frac{\omega}{\beta},\qquad \omega = 2\pi f.
Com f=1{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{Hz} tem-se \omega=2\pi\times10^{9}\\ \mathrm{rad/s}, portanto
v_p = \frac{2\pi\times10^{9}}{1887} \approx 3{,}33\times10^{6}\\ \mathrm{m/s},
ou seja, muito menor que a velocidade da luz no vácuo (devido às propriedades do meio).
Essas quantidades não foram pedidas explicitamente, mas são frequentemente cobradas em provas e ajudam a interpretar \beta.

Passo 4

O que é a impedância intrínseca \eta e como converter entre formas.
  • A impedância intrínseca é, em geral, um número complexo que relaciona campos elétricos e magnéticos no meio; ela pode ser escrita em forma polar ou rectangular:
\eta = |\eta| e^{j\theta} = |\eta|(\cos\theta + j\sin\theta).
Aqui |\eta| é o módulo (em \Omega) e \theta é a fase (em graus ou radianos).
  • Foi dada \eta = 41{,}84\,e^{j\,1{,}14^\circ}\\ \Omega. Para obter a forma retangular (parte real e imaginária) aplica-se as relações trigonométricas com \theta em graus:
\Re(\eta) = |\eta|\cos\theta,\qquad \Im(\eta) = |\eta|\sin\theta.
  • Cálculo numérico (usar calculadora na prova, mas o procedimento é este):
    • \theta = 1{,}14^\circ (em radianos \approx 0{,}01989\\ \mathrm{rad}, mas podemos usar funções trigonométricas em graus).
    • \Re(\eta) = 41{,}84\cos(1{,}14^\circ) \approx 41{,}83\\ \Omega.
    • \Im(\eta) = 41{,}84\sin(1{,}14^\circ) \approx 0{,}832\\ \Omega.
Portanto, em forma rectangular:
\eta \approx 41{,}83 + j\,0{,}832\\ \Omega.
  • Observação física: a parte real (resistiva) domina, e a parte imaginária (reativa) é pequena e positiva (indutiva ou capacitiva dependendo da convenção); aqui mostra que a impedância é quase puramente resistiva com leve componente reativa.

Passo 5

Resumo dos procedimentos (como decorar para a prova):
  • Se der \gamma em forma complexa, extraia \alpha como a parte real e \beta como a parte imaginária.
  • Converta \alpha para \mathrm{dB/m} multiplicando por 8{,}686.
  • Para \eta em forma polar, converta para retangular usando \cos e \sin do ângulo dado (em graus ou rad).
  • Para obter comprimento de onda e velocidade de fase, use \lambda=2\pi/\beta e v_p=\omega/\beta com \omega=2\pi f.

Resposta

\alpha = 37{,}72\\ \mathrm{Np/m} (equivalente a \alpha \approx 327{,}64\\ \mathrm{dB/m})
\beta = 1887\\ \mathrm{rad/m}
\eta = 41{,}84\,e^{j\,1{,}14^\circ}\\ \Omega \approx 41{,}83 + j\,0{,}832\\ \Omega

Exercícios relacionados