Uma onda plana uniforme de 30 MHz com
H=10 cdot sen(omega cdot t+beta cdot x) a2 mA / m
existe em uma região x >= 0, tendo sigma=0, varepsilon=9 cdot varepsilon0, mu=4 cdot mu0 Em x=0, a onda encontra o espaço livre, Determine:
(e) a densidade média de potência em cada região.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma onda eletromagnética plana de 30 MHz que está se propagando na região $ x \geq 0 $. A expressão do campo magnético $ \mathbf{H} $ é dada por:
x >= 0
Os parâmetros do meio nessa região são:
  • Condutividade $ \sigma = 0 $ (meio não condutor)
  • Permissividade $ \varepsilon = 9 \cdot \varepsilon_{0} $
  • Permeabilidade $ \mu = 4 \cdot \mu_{0} $
Além disso, a onda encontra o espaço livre na interface $ x = 0 $. Nosso objetivo é determinar a densidade média de potência em cada região, ou seja, na região $ x \geq 0 $ e no espaço livre ($ x < 0 $). Vamos usar conceitos de ondas eletromagnéticas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a densidade de potência média da onda eletromagnética. A densidade de potência $ \mathbf{S} $ é dada pelo produto vetorial dos campos elétrico $ \mathbf{E} $ e magnético $ \mathbf{H} $:
S
Para calcular isso, precisamos conhecer o campo elétrico $ \mathbf{E} $. Sabemos que em um meio homogêneo, os campos $ \mathbf{E} $ e $ \mathbf{H} $ estão relacionados pela impedância do meio $ \eta $:
E
Onde $ \mathbf{a}_{\mathbf{k}} $ é a direção de propagação da onda.

Passo 3

Vamos calcular a impedância do meio $ \eta $. A impedância característica de um meio é dada por:
eta
Para a região $ x \geq 0 $, temos:
  • $ \mu = 4 \cdot \mu_{0} $
  • $ \varepsilon = 9 \cdot \varepsilon_{0} $
Substituindo:
eta = raizmuvarepsilon
Onde $ \eta_{0} = \sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}}} \approx 377 , \Omega $ é a impedância do espaço livre. Portanto:
x >= 0

Passo 4

Agora que temos $ \eta $, podemos encontrar o campo elétrico $ \mathbf{E} $. Como a onda está se propagando na direção $ x $, e o campo magnético está na direção $ \mathbf{a}{\mathbf{2}} $ (vamos supor que $ \mathbf{a}{\mathbf{2}} $ é a direção $ y $), então o campo elétrico estará na direção $ z $.
Usando a relação:
eta
Dados:
  • $ H = 10 , mA/m = 0,01 , A/m $
  • $ \eta \approx 251 , \Omega $
Então:
E
Portanto, o campo elétrico é:
x

Passo 5

Agora, vamos calcular a densidade de potência $ \mathbf{S} $ na região $ x \geq 0 $:
S
Como $ \mathbf{E} $ está na direção $ z $ e $ \mathbf{H} $ na direção $ y $, o produto vetorial será na direção $ x $:
x >= 0
Substituindo os valores:
S = E times H
Como queremos a densidade média de potência, que é o valor médio do Poynting vector, consideramos a parte real da média do produto das funções senoidais:
E

Passo 6

Agora, vamos calcular a densidade média de potência no espaço livre ($ x < 0 $). No espaço livre, a impedância é $ \eta_{0} \approx 377 , \Omega $, e supondo que a amplitude do campo magnético permanece a mesma (pois a condutividade é zero e não há perdas):
x < 0
A densidade de potência média no espaço livre é:
eta0 approx 377 , Omega

Resposta

A densidade média de potência é aproximadamente $ 0,01255 , W/m^2 $ na região $ x \geq 0 $ e $ 0,01885 , W/m^2 $ no espaço livre ($ x < 0 $).

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