Uma onda plana uniforme de 30 MHz com
H=10 cdot sen(omega cdot t+beta cdot x) a2 mA / m
existe em uma região x >= 0, tendo sigma=0, varepsilon=9 cdot varepsilon0, mu=4 cdot mu0 Em x=0, a onda encontra o espaço livre, Determine:
© a densidade de corrente de deslocamento na região x >= 0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma onda plana uniforme de 30 MHz com um campo magnético H dado por:
H=10 cdot sen(omega cdot t+beta cdot x) a2 mA / m
Estamos trabalhando na região onde x >= 0, com as constantes:
  • sigma = 0 (ou seja, sem condutividade)
  • varepsilon = 9 cdot varepsilon0
  • mu = 4 cdot mu0
Nosso objetivo é determinar a densidade de corrente de deslocamento nessa região. Para isso, vamos usar conceitos de ondas eletromagnéticas e a relação entre os campos elétrico e magnético.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a corrente de deslocamento Jd está relacionada com a variação do campo elétrico no tempo:
Jd = partial Dpartial t = varepsilon partial Epartial t
Então, precisamos encontrar o campo elétrico E associado à onda.

Passo 3

Para ondas eletromagnéticas em meios homogêneos, os campos E e H estão relacionados através da impedância do meio Z:
E = Z H
A impedância do meio é dada por:
Z = raizmuvarepsilon
Vamos calcular Z usando os valores fornecidos:
Z = raiz4 cdot mu09 cdot varepsilon0
Sabemos que mu0 = 4pi times 10^-7 , H/m e varepsilon0 = 8,85 times 10^-12 , F/m. Mas, para simplificar, podemos deixar a expressão em termos de mu0 e varepsilon0.

Passo 4

Agora, substituímos Z na equação do campo elétrico:
E = raiz4 cdot mu09 cdot varepsilon0 cdot 10 cdot sen(omega t + beta x) a2 V/m
Isso simplifica para:
E = 23 raizmu0varepsilon0 cdot 10 cdot sen(omega t + beta x) a2 V/m

Passo 5

Agora que temos o campo elétrico, podemos calcular a densidade de corrente de deslocamento:
Jd = varepsilon partial Epartial t
Tomando a derivada em relação ao tempo da função seno:
partialpartial t sen(omega t + beta x) = omega cdot cos(omega t + beta x)
Então:
Jd = varepsilon cdot omega cdot 23 raizmu0varepsilon0 cdot 10 cdot cos(omega t + beta x) a2 A/m^2

Resposta

A densidade de corrente de deslocamento na região x >= 0 é:
Jd = 203 cdot omega cdot varepsilon0 cdot 9 cdot raiz4 cdot mu09 cdot varepsilon0 cdot cos(omega t + beta x) a2 A/m^2

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