Uma onda senoidal se propaga em uma corda com uma velocidade de 40 cmis. O deslocamento da corda em x=10 \mathrm{~cm} varia com o tempo de acordo com a equação y=(5,0 \mathrm{~cm}) \operatorname{sen}\left[1,0-\left(2,0 \mathrm{~s}^{-1}\right) t\right]. A densidade linear da corda é 6,0 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}, determine:
a) A frequência

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (mantive os números do enunciado entre parênteses):
  • Velocidade de propagação da onda: v=40\\ \mathrm{cm/s}.
  • O deslocamento em x=10\\ \mathrm{cm} varia com o tempo segundo a expressão
y=(5,0\\ \mathrm{cm})\\ \operatorname{sen}\!\left[1,0-\left(2,0\\ \mathrm{s}^{-1}\right) t\right].
  • Densidade linear da corda: \lambda=6,0\\ \mathrm{g/cm}.
O que a questão (a) pede: determinar a frequência da oscilação.

Passo 2

Entendendo a forma matemática dada: quando se observa um ponto fixo da corda (aqui x=10\\ \mathrm{cm}), o deslocamento em função do tempo costuma aparecer como
y(t)=A\\ \operatorname{sen}\!\big(\varphi(t)\big)
onde A é a amplitude (a máxima elongação, em centímetros) e \varphi(t) é a fase instantânea (em radianos). Se a fase é linear em t, costuma ter a forma
\varphi(t)=\varphi_0-\omega t
ou \varphi(t)=\varphi_0+\omega t. Nesse contexto:
  • \omega é a frequência angular, medida em \mathrm{rad/s}. Ela indica quantos radianos a fase percorre por segundo.
  • A frequência comum f (em hertz, Hz) é o número de ciclos por segundo e está relacionada com \omega por
\omega=2\pi f.
  • O período T (tempo de um ciclo) é T=1/f e também T=2\pi/\omega.

Passo 3

Agora identifique o coeficiente de t na fase da expressão dada. A fase dada é
\varphi(t)=1,0-\big(2,0\\ \mathrm{s}^{-1}\big)t.
Portanto o termo que multiplica t é \omega=2,0\\ \mathrm{s}^{-1}. O número 1,0 é a fase inicial \varphi_0 (em radianos) e a amplitude é A=5,0\\ \mathrm{cm}. A amplitude e a fase inicial não influenciam a frequência; só importa \omega.

Passo 4

Use a relação entre frequência angular e frequência comum:
f=\frac{\omega}{2\pi}.

Passo 5

Substituindo \omega=2,0\\ \mathrm{s}^{-1} na fórmula:
f=\frac{2,0}{2\pi}=\frac{1}{\pi}\\ \mathrm{Hz}.
Numericamente,
\frac{1}{\pi}\approx0,3183\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Interpretação rápida (dica de prova): a frequência é pequena porque \omega é pequeno; o período correspondente é T=\dfrac{1}{f}=\pi\\ \mathrm{s}\approx3,1416\\ \mathrm{s}. Na prova, para achar f a olho, basta pegar o coeficiente de t dentro do seno (em rad/s) e dividir por 2\pi.

Resposta

f=\dfrac{1}{\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx0,3183\\ \mathrm{Hz}

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