(HR 32.11) Suponha que um capacitor de placas paralelas possua placas circulares com raio R e uma separação entre as placas d. Suponha também que uma diferença de potencial senoidal com valor máximo de V_{0} e uma frequência de f é aplicada entre as placas; ou seja,
V=V_{0} \sin [2 \pi f t] .
(a) Determine B_{\text {máx }}(r)á, para r>R e r<R. (b) Esboce B_{\text {máx }}(r)á em função de r.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo bem claro):
  • Placas paralelas, circulares, de raio R e separação entre placas d.
  • Entre as placas é aplicada uma diferença de potencial senoidal
V(t)=V_{0}\sin[2\pi f t].
  • Pede-se, para o módulo máximo do campo magnético (denotado por B_{\text{máx}}(r)á), a expressão em função do raio r em dois casos: r<R e r>R.
  • Pede também que se esboce B_{\text{máx}}(r)á em função de r.
Observações importantes (dados relevantes que usarei):
  • A intensidade do campo elétrico entre as placas, desprezando efeito de borda, é dada por E(t)=V(t)/d.
  • A dependência temporal de E gera um fluxo elétrico variável, o que, pela Lei de Ampère-Maxwell, produz um campo magnético circular ao redor do eixo das placas.

Passo 2

Entendendo a lei que vamos aplicar (exposição didática):
  • A forma integral da Lei de Ampère-Maxwell é
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell}=\mu_{0} I_{\text{enc}}+\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{d\Phi_{E}}{dt},
onde:
  • \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell} é a integral de linha do campo magnético ao longo de um caminho fechado (o contorno de Ampère).
  • I_{\text{enc}} é a corrente de condução atravessando a superfície limitada pelo contorno (aqui não há corrente de condução entre placas idealmente, então I_{\text{enc}}=0).
  • \Phi_{E} é o fluxo do campo elétrico através dessa superfície: \Phi_{E}=\int \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}.
  • O termo \mu_{0}\varepsilon_{0}\dfrac{d\Phi_{E}}{dt} é o chamado “corrente de deslocamento” equivalente, responsável pelo campo magnético quando o campo elétrico varia no tempo.
  • Para o nosso problema a simetria é circular: \mathbf{B} tem direção azimutal e módulo constante ao longo de um círculo de raio r centrado no eixo das placas. Então a integral de linha vira \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell} = 2\pi r\, B(r,t).

Passo 3

Expressar o campo elétrico e sua derivada temporal:
  • Entre placas, desprezando bordas, o campo elétrico é uniforme e vale
E(t)=\frac{V(t)}{d}=\frac{V_{0}}{d}\sin(\omega t),
onde \omega=2\pi f.
  • A derivada temporal é
\frac{dE}{dt}=\frac{V_{0}}{d}\,\omega\cos(\omega t).
  • O módulo máximo de \dfrac{dE}{dt} (isto é, a amplitude) é
\left|\frac{dE}{dt}\right|_{\max}=\frac{V_{0}\,\omega}{d}.
Vou usar esse valor para obter B_{\text{máx}}(r)á.

Passo 4

Aplicar a Lei de Ampère-Maxwell para um raio r<R (loop menor que a placa):
  • Escolho um caminho circular de raio r centrado no eixo; a superfície naturalmente tomada é o disco de raio r entre as placas.
  • Não há corrente de condução entre placas, então I_{\text{enc}}=0. O termo que gera \mathbf{B} é a corrente de deslocamento
\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{d\Phi_{E}}{dt}.
  • O fluxo elétrico através do disco de raio r é
\Phi_{E}(t)=E(t)\cdot (\text{área do disco})=E(t)\,\pi r^{2}.á
  • Portanto
\frac{d\Phi_{E}}{dt}=\pi r^{2}\frac{dE}{dt}.
  • A integral de linha é 2\pi r\,B(r,t). Substituindo na Lei de Ampère-Maxwell:
2\pi r\,B(r,t)=\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\pi r^{2}\frac{dE}{dt}.
  • Isolando B(r,t),
B(r,t)=\frac{\mu_{0}\varepsilon_{0}\,r}{2}\,\frac{dE}{dt}.
  • Tomando a amplitude (o valor máximo no tempo) e usando \left|\dfrac{dE}{dt}\right|_{\max}=\dfrac{V_{0}\,\omega}{d}, obtemos
B_{\text{máx}}(r)=\frac{\mu_{0}\varepsilon_{0}\,r}{2}\cdot\frac{V_{0}\,\omega}{d},\qquad (r<R).á

Passo 5

Aplicar a Lei de Ampère-Maxwell para um raio r>R (loop maior que a placa):
  • Agora o disco limitado pelo contorno de Ampère intercepta apenas a região ocupada pela placa (a área efetiva de fluxo elétrico é a área total das placas, \pi R^{2}), pois fora do raio R o campo elétrico entre placas é zero (ou desprezível) no modelo ideal.
  • O fluxo elétrico através da superfície de raio r>R é então
\Phi_{E}(t)=E(t)\,\pi R^{2}.
  • Seguindo o mesmo raciocínio:
2\pi r\,B(r,t)=\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\pi R^{2}\frac{dE}{dt}.
  • Isolando B(r,t),
B(r,t)=\frac{\mu_{0}\varepsilon_{0}\,R^{2}}{2r}\,\frac{dE}{dt}.
  • Tomando amplitudes:
B_{\text{máx}}(r)=\frac{\mu_{0}\varepsilon_{0}\,R^{2}}{2r}\cdot\frac{V_{0}\,\omega}{d},\qquad (r>R).á

Passo 6

Simplificações e verificação de continuidade em r=R; escrever em função de f:
  • Podemos usar \omega=2\pi f e notar \mu_{0}\varepsilon_{0}=1/c^{2} se desejar, mas manterei \mu_{0}\varepsilon_{0} explícito.
  • As expressões finais ficam:
B_{\text{máx}}(r)=\frac{\mu_{0}\varepsilon_{0}\,V_{0}\,\omega}{2d}\;r,\qquad (r<R),á
B_{\text{máx}}(r)=\frac{\mu_{0}\varepsilon_{0}\,V_{0}\,\omega}{2d}\;\frac{R^{2}}{r},\qquad (r>R).á
  • Em termos de f,
B_{\text{máx}}(r)=\frac{\mu_{0}\varepsilon_{0}\,V_{0}\,(2\pi f)}{2d}\;r=\frac{\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\pi f V_{0}}{d}\;r,\quad (r<R),á
B_{\text{máx}}(r)=\frac{\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\pi f V_{0}}{d}\;\frac{R^{2}}{r},\quad (r>R).á
  • Verificação de continuidade em r=R: ambas as fórmulas dão o mesmo valor em r=R:
B_{\text{máx}}(R)=\frac{\mu_{0}\varepsilon_{0}\,V_{0}\,\omega}{2d}\,R.á
Logo B_{\text{máx}}(r)á é contínua em r=R.

Passo 7

Esboço qualitativo de B_{\text{máx}}(r)á em função de r (como desenhar na prova e o que interpretar):
  • Para 0\le r\le R: B_{\text{máx}}(r)á cresce linearmente com r (proporcional a r).
  • Para r\ge R: B_{\text{máx}}(r)á decai como 1/r.
  • No ponto r=R as duas partes se encontram suavemente (continuidade).
  • Visualmente: comece em r=0 com B=0, uma rampa reta até r=R, atingindo um pico em r=R, e depois uma curva hiperbólica decrescente para r>R.
  • Dica de esboço rápido na prova: trace uma linha reta saindo da origem até R, e depois uma hipérbole que passa pelo mesmo ponto em R e decresce para a direita.

Resposta

B_{\text{máx}}(r)=\frac{\mu_{0}\varepsilon_{0}\,V_{0}\,\omega}{2d}\;r,\qquad (r<R)á
B_{\text{máx}}(r)=\frac{\mu_{0}\varepsilon_{0}\,V_{0}\,\omega}{2d}\;\frac{R^{2}}{r},\qquad (r>R)á
Esboço: B_{\text{máx}}(r)á cresce linearmente com r para r<R, atinge valor \dfrac{\mu_{0}\varepsilon_{0}V_{0}\omega R}{2d} em r=R e decai como 1/r para r>R.

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