(HR 32.11) Suponha que um capacitor de placas paralelas possua placas circulares com raio R e uma separação entre as placas d. Suponha também que uma diferença de potencial senoidal com valor máximo de V_{0} e uma frequência de f é aplicada entre as placas; ou seja,
V=V_{0} \sin [2 \pi f t] .
(a) Determine B_{\text {máx }}(r), para r>R e r<R. (b) Esboce B_{\text {máx }}(r) em função de r.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo bem claro):
Placas paralelas, circulares, de raio R e separação entre placas d.
Entre as placas é aplicada uma diferença de potencial senoidal
V(t)=V_{0}\sin[2\pi f t].
Pede-se, para o módulo máximo do campo magnético (denotado por B_{\text{máx}}(r)), a expressão em função do raio r em dois casos: r<R e r>R.
Pede também que se esboce B_{\text{máx}}(r) em função de r.
Observações importantes (dados relevantes que usarei):
A intensidade do campo elétrico entre as placas, desprezando efeito de borda, é dada por E(t)=V(t)/d.
A dependência temporal de E gera um fluxo elétrico variável, o que, pela Lei de Ampère-Maxwell, produz um campo magnético circular ao redor do eixo das placas.
Passo 2
Entendendo a lei que vamos aplicar (exposição didática):
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell} é a integral de linha do campo magnético ao longo de um caminho fechado (o contorno de Ampère).
I_{\text{enc}} é a corrente de condução atravessando a superfície limitada pelo contorno (aqui não há corrente de condução entre placas idealmente, então I_{\text{enc}}=0).
\Phi_{E} é o fluxo do campo elétrico através dessa superfície: \Phi_{E}=\int \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}.
O termo \mu_{0}\varepsilon_{0}\dfrac{d\Phi_{E}}{dt} é o chamado “corrente de deslocamento” equivalente, responsável pelo campo magnético quando o campo elétrico varia no tempo.
Para o nosso problema a simetria é circular: \mathbf{B} tem direção azimutal e módulo constante ao longo de um círculo de raio r centrado no eixo das placas. Então a integral de linha vira \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell} = 2\pi r\, B(r,t).
Passo 3
Expressar o campo elétrico e sua derivada temporal:
Entre placas, desprezando bordas, o campo elétrico é uniforme e vale
Aplicar a Lei de Ampère-Maxwell para um raio r>R (loop maior que a placa):
Agora o disco limitado pelo contorno de Ampère intercepta apenas a região ocupada pela placa (a área efetiva de fluxo elétrico é a área total das placas, \pi R^{2}), pois fora do raio R o campo elétrico entre placas é zero (ou desprezível) no modelo ideal.
O fluxo elétrico através da superfície de raio r>R é então
Esboço qualitativo de B_{\text{máx}}(r)á em função de r (como desenhar na prova e o que interpretar):
Para 0\le r\le R: B_{\text{máx}}(r)á cresce linearmente com r (proporcional a r).
Para r\ge R: B_{\text{máx}}(r)á decai como 1/r.
No ponto r=R as duas partes se encontram suavemente (continuidade).
Visualmente: comece em r=0 com B=0, uma rampa reta até r=R, atingindo um pico em r=R, e depois uma curva hiperbólica decrescente para r>R.
Dica de esboço rápido na prova: trace uma linha reta saindo da origem até R, e depois uma hipérbole que passa pelo mesmo ponto em R e decresce para a direita.
Esboço: B_{\text{máx}}(r)á cresce linearmente com r para r<R, atinge valor \dfrac{\mu_{0}\varepsilon_{0}V_{0}\omega R}{2d} em r=R e decai como 1/r para r>R.