Uma onda transversal possui amplitude de campo elétrico E_{m}=120 \mathrm{~N} / \mathrm{C} e frequência f=50,0 \mathrm{MHz}. Determine: (a) B_{m}, \omega, k e \lambda; (b) expressões para \vec{E} e \vec{B}.

Passo 1

O enunciado dá uma onda transversal com amplitude do campo elétrico \,E_{m}=120\\ \mathrm{N/C}\, e frequência \,f=50{,}0\\ \mathrm{MHz}\,. Pede-se:
(a) os valores de \,B_{m}, \omega, k e \lambda;
(b) as expressões vetoriais para \vec{E} e \vec{B}.
Informações fornecidas explicitamente:
E_{m}=120\\ \mathrm{N/C},\qquad f=50{,}0\\ \mathrm{MHz}=50{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}.
O que precisamos encontrar:
  • (a) \,B_{m} (amplitude do campo magnético), \omega (frequência angular), k (número de onda) e \lambda (comprimento de onda);
  • (b) expressões de \vec{E}(x,t) e \vec{B}(x,t) para a onda.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): em uma onda eletromagnética plana que se propaga no vácuo, os campos elétrico e magnético são perpendiculares entre si e à direção de propagação, e as amplitudes satisfazem a relação
E_{m}=c\,B_{m},
onde c é a velocidade da luz no vácuo. Aqui E_{m} tem unidade de \mathrm{N/C} (equivalente a \mathrm{V/m}) e B_{m} tem unidade de tesla \mathrm{(T)}. A fórmula significa que o quociente entre a amplitude do campo elétrico e a amplitude do campo magnético é a velocidade da onda no meio (no vácuo, c).
Explicação das variáveis:
  • \,E_{m} é a amplitude máxima do campo elétrico (valor máximo de |\vec{E}|);
  • \,B_{m} é a amplitude máxima do campo magnético (valor máximo de |\vec{B}|);
  • \,c é a velocidade da luz no vácuo, que vamos tomar como \,c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Também usaremos as fórmulas:
\omega=2\pi f, \qquad \lambda=\frac{c}{f}, \qquad k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{\omega}{c}.
Aqui \omega é a frequência angular (rad/s), \lambda o comprimento de onda (m) e k o número de onda (rad/m).

Passo 3

Cálculo de \,B_{m} usando \,B_{m}=\dfrac{E_{m}}{c}.
Substituindo números:
B_{m}=\frac{E_{m}}{c}=\frac{120}{3{,}00\times10^{8}}\\ \mathrm{T}.
Efetuando a divisão (mostrar passo a passo):
\frac{120}{3{,}00\times10^{8}}=\frac{1{,}20\times10^{2}}{3{,}00\times10^{8}} =\left(\frac{1{,}20}{3{,}00}\right)\times10^{2-8} =0{,}400\times10^{-6}=4{,}00\times10^{-7}.
Portanto:
B_{m}=4{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.

Passo 4

Cálculo de \omega usando \,\omega=2\pi f.
Substituindo f=50{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}:
\omega=2\pi\cdot50{,}0\times10^{6}=100\pi\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s}.
Valor numérico (aproximando \pi\approx3{,}14159):
\omega\approx100\cdot3{,}14159\times10^{6}=3{,}14159\times10^{8}\\ \mathrm{rad/s}.
Arredondando razoavelmente:
\omega\approx3{,}1416\times10^{8}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Cálculo de \lambda usando \,\lambda=\dfrac{c}{f}.
Substituindo:
\lambda=\frac{3{,}00\times10^{8}}{50{,}0\times10^{6}}=\frac{3{,}00}{50{,}0}\times10^{8-6}.
Fazendo as contas:
\frac{3{,}00}{50{,}0}=0{,}06,\qquad 10^{2}=100,
portanto
\lambda=0{,}06\times10^{2}=6{,}0\\ \mathrm{m}.
Resultado simples e útil: \lambda=6{,}0\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Cálculo de k usando \,k=\dfrac{2\pi}{\lambda} (ou k=\dfrac{\omega}{c}).
Usando \lambda=6{,}0\\ \mathrm{m}:
k=\frac{2\pi}{6{,}0}=\frac{\pi}{3}\\ \mathrm{rad/m}.
Valor numérico:
\frac{\pi}{3}\approx\frac{3{,}14159}{3}=1{,}04720\\ \mathrm{rad/m}.
Logo:
k\approx1{,}0472\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 7

Escolha de convenção para escrever \vec{E} e \vec{B} (importante para a prova): para uma onda plana transversal podemos escolher um sistema de coordenadas conveniente. Uma escolha muito usada é:
  • propagação no sentido positivo de x (vetor de onda \vec{k} ao longo de \hat{x});
  • campo elétrico oscilando ao longo de \hat{y};
  • campo magnético oscilando ao longo de \hat{z}.
Isso respeita a regra da mão direita e a relação \vec{S}\propto\vec{E}\times\vec{B} apontando para +\hat{x}. Observação: poderia trocar sinais ou usar seno em vez de cosseno — ambas são soluções válidas; nessa resolução usarei cosseno sem deslocamento de fase.

Passo 8

Escrever as expressões vetoriais usando as amplitudes e os parâmetros calculados.
Forma geral escolhida (onda viajando para +x):
\vec{E}(x,t)=E_{m}\cos(kx-\omega t)\,\hat{y}, \qquad \vec{B}(x,t)=B_{m}\cos(kx-\omega t)\,\hat{z}.
Substituindo os valores numéricos encontrados:
E_{m}=120\\ \mathrm{N/C},\quad B_{m}=4{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{T},
k=\frac{\pi}{3}\\ \mathrm{rad/m},\quad \omega=3{,}1416\times10^{8}\\ \mathrm{rad/s}.
Portanto as expressões ficam:
\vec{E}(x,t)=120\cos\!\bigg(\frac{\pi}{3}x-3{,}1416\times10^{8}\,t\bigg)\,\hat{y}\quad(\mathrm{N/C}),
\vec{B}(x,t)=4{,}00\times10^{-7}\cos\!\bigg(\frac{\pi}{3}x-3{,}1416\times10^{8}\,t\bigg)\,\hat{z}\quad(\mathrm{T}).

Passo 9

Observações finais rápidas e dicas para a prova (encorajamento):
  • Se for pedido, pode usar a forma com \sin em vez de \cos ou adicionar uma fase \varphi: \cos(kx-\omega t+\varphi).
  • Sempre confira unidades: E em \mathrm{N/C} ou \mathrm{V/m}, B em \mathrm{T}, \lambda em metros, \omega em rad/s e k em rad/m.
  • Boa notícia: a maior parte do trabalho é decorar as fórmulas básicas \omega=2\pi f, \lambda=c/f e E_{m}=cB_{m}. Com elas a questão cai fácil — e tu já fez isso agora!

Resposta

(a) B_{m}=4{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{T}
(a) \omega=3{,}1416\times10^{8}\\ \mathrm{rad/s}
(a) k=\dfrac{\pi}{3}\\ \mathrm{rad/m}\approx1{,}0472\\ \mathrm{rad/m}
(a) \lambda=6{,}0\\ \mathrm{m}
(b) \displaystyle \vec{E}(x,t)=120\cos\!\bigg(\frac{\pi}{3}x-3{,}1416\times10^{8}\,t\bigg)\,\hat{y}\\ \\ (\mathrm{N/C})
(b) \displaystyle \vec{B}(x,t)=4{,}00\times10^{-7}\cos\!\bigg(\frac{\pi}{3}x-3{,}1416\times10^{8}\,t\bigg)\,\hat{z}\\ \\ (\mathrm{T})

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