Durante o desenvolvimento de um simulador computacional de trajetórias espaciais, engenheiros projetaram virtualmente o lançamento de uma cápsula de teste. No modelo, uma partícula de massa m é lançada verticalmente para cima a partir da superfície de um planeta esférico de raio R e massa M.
A velocidade inicial da partícula é programada como sendo metade da velocidade de escape do planeta. No modelo, desprezam-se efeitos atmosféricos e considera-se apenas a interação gravitacional entre a partícula e o planeta.
Determine o módulo da energia potencial gravitacional da partícula no ponto mais alto de sua trajetória.
a)
b)
c)
d)
e)
A velocidade inicial da partícula é programada como sendo metade da velocidade de escape do planeta. No modelo, desprezam-se efeitos atmosféricos e considera-se apenas a interação gravitacional entre a partícula e o planeta.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte:
- Dados fornecidos:
- Massa da partícula:
. - Raio do planeta:
. - Massa do planeta:
. - Velocidade inicial da partícula é metade da velocidade de escape do planeta.
- No modelo desprezam-se efeitos atmosféricos e considera-se apenas a interação gravitacional entre partícula e planeta.
- Massa da partícula:
- O que o problema pede:
- Determinar o módulo da energia potencial gravitacional da partícula no ponto mais alto de sua trajetória (ou seja, o valor absoluto de
quando a partícula alcança a máxima distância do centro do planeta).
- Determinar o módulo da energia potencial gravitacional da partícula no ponto mais alto de sua trajetória (ou seja, o valor absoluto de
Passo 2
Fórmula da energia potencial gravitacional e significado das variáveis.
- A energia potencial gravitacional de uma massa
a uma distância do centro de uma massa é dada por
onde
é a constante gravitacional e o sinal negativo indica que a interação é atrativa (o zero de energia é tomado em
). O módulo que o enunciado pede é
.
Passo 3
Expressão da velocidade de escape e derivação rápida (explicando cada passo).
- A velocidade de escape
é a velocidade mínima na superfície do planeta ( ) para que a partícula atinja com energia cinética nula lá. Usa-se conservação de energia entre e :
- Na superfície, energia inicial é
. Em queremos . Igualando:
- Isolando
:
Aqui
é a velocidade de escape a partir da superfície.
Passo 4
Calcular a velocidade inicial
do enunciado e o seu quadrado.
- O enunciado diz que a velocidade inicial vale metade da velocidade de escape, logo
- O quadrado de
fica mais simples ao calcular:
Passo 5
Calcular a energia cinética inicial
e a energia potencial inicial
.
- Energia cinética inicial:
- Energia potencial na superfície (inicial):
Passo 6
Calcular a energia mecânica total inicial
.
- Soma de
e :
- Observação: essa energia total
é constante durante o movimento porque só há força gravitacional conservativa.
Passo 7
Energia no ponto mais alto e determinação do módulo da energia potencial lá.
- No ponto mais alto da trajetória a velocidade é zero, logo a energia total ali é só a potencial:
onde
é a distância ao centro do planeta no ponto mais alto.
- Igualando com
calculado em Passo 6:
- Cancelando
(não nulo) e invertendo,
- O módulo da energia potencial no ponto mais alto é
Passo 8
Interpretação final em relação às alternativas fornecidas.
- A expressão obtida
corresponde à alternativa (a).