Durante o desenvolvimento de um simulador computacional de trajetórias espaciais, engenheiros projetaram virtualmente o lançamento de uma cápsula de teste. No modelo, uma partícula de massa m é lançada verticalmente para cima a partir da superfície de um planeta esférico de raio R e massa M.
A velocidade inicial da partícula é programada como sendo metade da velocidade de escape do planeta. No modelo, desprezam-se efeitos atmosféricos e considera-se apenas a interação gravitacional entre a partícula e o planeta.
Determine o módulo da energia potencial gravitacional da partícula no ponto mais alto de sua trajetória.
a) 3 \mathrm{GMm} /(4 \mathrm{R})
b) \mathrm{GMm} /(4 \mathrm{R})
c) \mathrm{GMm} /(2 \mathrm{R})
d) \mathrm{GMm} / \mathrm{R}
e) \mathrm{GMm} /(8 \mathrm{R})

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • Massa da partícula: m.
    • Raio do planeta: R.
    • Massa do planeta: M.
    • Velocidade inicial da partícula é metade da velocidade de escape do planeta.
    • No modelo desprezam-se efeitos atmosféricos e considera-se apenas a interação gravitacional entre partícula e planeta.
  • O que o problema pede:
    • Determinar o módulo da energia potencial gravitacional da partícula no ponto mais alto de sua trajetória (ou seja, o valor absoluto de U quando a partícula alcança a máxima distância do centro do planeta).

Passo 2

Fórmula da energia potencial gravitacional e significado das variáveis.
  • A energia potencial gravitacional de uma massa m a uma distância r do centro de uma massa M é dada por
U(r) = -\dfrac{G M m}{r},
onde G é a constante gravitacional e o sinal negativo indica que a interação é atrativa (o zero de energia é tomado em r\to\infty). O módulo que o enunciado pede é |U(r)|=\dfrac{G M m}{r}.

Passo 3

Expressão da velocidade de escape e derivação rápida (explicando cada passo).
  • A velocidade de escape v_{\text{esc}} é a velocidade mínima na superfície do planeta ( r=R) para que a partícula atinja r\to\infty com energia cinética nula lá. Usa-se conservação de energia entre r=R e r\to\infty:
\text{energia inicial} = \text{energia em } \infty.
  • Na superfície, energia inicial é K_i+U_i=\dfrac{1}{2}m v_{\text{esc}}^{2}-\dfrac{G M m}{R}. Em \infty queremos K_\infty+U_\infty=0+0. Igualando:
\dfrac{1}{2}m v_{\text{esc}}^{2}-\dfrac{G M m}{R}=0.
  • Isolando v_{\text{esc}}:
\dfrac{1}{2} v_{\text{esc}}^{2}=\dfrac{G M}{R} \quad\Rightarrow\quad v_{\text{esc}}=\sqrt{\dfrac{2 G M}{R}}.
Aqui v_{\text{esc}} é a velocidade de escape a partir da superfície.

Passo 4

Calcular a velocidade inicial v_0 do enunciado e o seu quadrado.
  • O enunciado diz que a velocidade inicial vale metade da velocidade de escape, logo
v_0=\dfrac{1}{2}v_{\text{esc}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2 G M}{R}}.
  • O quadrado de v_0 fica mais simples ao calcular:
v_0^{2}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} v_{\text{esc}}^{2}=\dfrac{1}{4}\cdot\left(\dfrac{2 G M}{R}\right)=\dfrac{G M}{2 R}.

Passo 5

Calcular a energia cinética inicial K_i e a energia potencial inicial U_i.
  • Energia cinética inicial:
K_i=\dfrac{1}{2}m v_0^{2}=\dfrac{1}{2}m\cdot\dfrac{G M}{2 R}=\dfrac{G M m}{4 R}.
  • Energia potencial na superfície (inicial):
U_i=-\dfrac{G M m}{R}.

Passo 6

Calcular a energia mecânica total inicial E.
  • Soma de K_i e U_i:
E = K_i+U_i=\dfrac{G M m}{4 R}-\dfrac{G M m}{R}=\left(\dfrac{1}{4}-1\right)\dfrac{G M m}{R}=-\dfrac{3}{4}\dfrac{G M m}{R}.
  • Observação: essa energia total E é constante durante o movimento porque só há força gravitacional conservativa.

Passo 7

Energia no ponto mais alto e determinação do módulo da energia potencial lá.
  • No ponto mais alto da trajetória a velocidade é zero, logo a energia total ali é só a potencial:
E=U_{\text{max}}=-\dfrac{G M m}{r_{\text{max}}},
onde r_{\text{max}} é a distância ao centro do planeta no ponto mais alto.
  • Igualando com E calculado em Passo 6:
-\dfrac{G M m}{r_{\text{max}}}=-\dfrac{3}{4}\dfrac{G M m}{R}.
  • Cancelando -G M m (não nulo) e invertendo,
\dfrac{1}{r_{\text{max}}}=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{R} \quad\Rightarrow\quad r_{\text{max}}=\dfrac{4}{3}R.
  • O módulo da energia potencial no ponto mais alto é
|U_{\text{max}}|=\dfrac{G M m}{r_{\text{max}}}=\dfrac{G M m}{\tfrac{4}{3}R}=\dfrac{3}{4}\dfrac{G M m}{R}.

Passo 8

Interpretação final em relação às alternativas fornecidas.
  • A expressão obtida \dfrac{3}{4}\dfrac{G M m}{R} corresponde à alternativa (a).

Resposta

\dfrac{3GMm}{4R}

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