Uma onda transversal senoidal se propaga em uma corda no sentido positivo do eixo x. A tensăo na corda é \mathrm{T}=36 \mathrm{~N} e a densidade linear é 0,25 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}. Em \mathrm{t}=0 uma partícula da corda situada em \mathrm{x}=0 tem um deslocamento transversal de 4 cm em relação à posição de equilibrio e velocidade nula. A velocidade transversal máxima da partícula situada em x=0 é 16 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule:
a) A velocidade de propagação da onda.
b) Se a onda é da forma y(x, t)=Y m \operatorname{sen}(k x-\omega t+\varphi), determine: Y m, \omega, k, \varphi.
c) Determine o comprimento de onda \lambda e o período.
d) Desenhe o gráfico y(x, t) versus x em t=0.

Passo 1

O enunciado trata de uma onda transversal senoidal que se propaga numa corda sob tensão \mathrm{T}=36\:\mathrm{N} e densidade linear \mu=0,25\:\mathrm{kg/m}. Em t=0 a partícula em x=0 tem deslocamento y=4\:\mathrm{cm} e velocidade transversal nula, e sua velocidade máxima é 16\:\mathrm{m/s}. Vamos usar:
  • A relação da velocidade de propagação v=\sqrt{\mathrm{T}/\mu}.
  • A forma geral y(x,t)=Y\operatorname{sen}(kx-\omega t+\varphi).
  • As condições iniciais em x=0 para achar Y,\omega,\varphi.
  • Depois calcular k, \lambda e o período.

Passo 2

Calculamos a velocidade de propagação usando
v=\sqrt{\frac{\mathrm{T}}{\mu}} =\sqrt{\frac{36}{0,25}} =\sqrt{144} =12\:\mathrm{m/s}.

Passo 3

Escrevemos em x=0
y(0,t)=Y\operatorname{sen}(-\omega t+\varphi), \quad v_y(0,t)=\frac{\partial y}{\partial t}\Big|_{x=0} =-\omega Y\cos(-\omega t+\varphi).
Em t=0 temos
  1. y(0,0)=Y\operatorname{sen}(\varphi)=0{,}04\:\mathrm{m}.
  2. v_y(0,0)=-\omega Y\cos(\varphi)=0 \;\Rightarrow\;\cos(\varphi)=0.
  3. A velocidade máxima é \omega Y=16\:\mathrm{m/s}. Como \cos(\varphi)=0, escolhemos \varphi=\pi/2 para que \operatorname{sen}(\varphi)>0. Assim
\operatorname{sen}\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr)=1 \quad\Rightarrow\quad Y=0{,}04\:\mathrm{m}, \quad \omega Y=16 \quad\Rightarrow\quad \omega=400\:\mathrm{rad/s}.

Passo 4

O número de onda vem de
k=\frac{\omega}{v} =\frac{400}{12} =\frac{100}{3}\:\mathrm{rad/m}.

Passo 5

O comprimento de onda e o período são
\lambda=\frac{2\pi}{k} =\frac{2\pi}{100/3} =\frac{6\pi}{100} =\frac{3\pi}{50}\:\mathrm{m}\approx0{,}1885\:\mathrm{m},
T_{\text{per}}=\frac{2\pi}{\omega} =\frac{2\pi}{400} =\frac{\pi}{200}\:\mathrm{s}\approx0{,}0157\:\mathrm{s}.

Passo 6

A forma final da onda é
y(x,t)=0{,}04\operatorname{sen}\Bigl(\frac{100}{3}\,x-400\,t+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\mathrm{m}.
Em t=0 isso vira
y(x,0)=0{,}04\operatorname{sen}\Bigl(\frac{100}{3}\,x+\frac{\pi}{2}\Bigr) =0{,}04\cos\Bigl(\frac{100}{3}\,x\Bigr).
O gráfico de y(x,0) versus x é uma cossenoide de amplitude 0{,}04\:\mathrm{m} e período \lambda. Em pontos notáveis:
  • x=0\implies y=+0{,}04,
  • x=\lambda/4\approx0{,}0471\:\mathrm{m}\implies y=0,
  • x=\lambda/2\approx0{,}0943\:\mathrm{m}\implies y=-0{,}04,
  • x=3\lambda/4\implies y=0,
  • x=\lambda\implies y=+0{,}04.

Resposta

a) v=12\:\mathrm{m/s}.
b)
Y=0{,}04\:\mathrm{m},\quad \omega=400\:\mathrm{rad/s},\quad k=\frac{100}{3}\:\mathrm{rad/m},\quad \varphi=\frac{\pi}{2}.
c)
\lambda=\frac{3\pi}{50}\:\mathrm{m}\approx0{,}1885\:\mathrm{m}, \quad T_{\text{per}}=\frac{\pi}{200}\:\mathrm{s}\approx0{,}0157\:\mathrm{s}.
d) Em t=0, y(x,0)=0{,}04\cos\bigl(\tfrac{100}{3}x\bigr). O gráfico é uma cossenoide de amplitude 0{,}04\:\mathrm{m}, começando em y(0)=0{,}04, cruzando y=0 em x=\lambda/4, atingindo -0{,}04 em x=\lambda/2 e retornando a +0{,}04 em x=\lambda.

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