onde Delta u=u_{x x}+u_{y y}, chamado de Laplaciano de u.
8. Em cada item abaixo calcule as derivadas direcionais de f especificadas:
(a) f(x, y, z)=3 x-5 y+2 z no ponto ( 2,2,1 ) na direção do vetor normal unitário que aponta para fora da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 no ponto ( 2,2,1 ).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional da função
f(x,y,z)=3x-5y+2z
no ponto (2,2,1) na direção do vetor normal unitário para fora da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=9
no mesmo ponto. Para isso, vamos usar que a derivada direcional em direção unitária \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f=\nabla f\cdot\mathbf{u},
e que o vetor normal à esfera centrada na origem no ponto (x,y,z) é paralelo a (x,y,z).

Passo 2

Em (2,2,1) o vetor normal (não unitário) é
\mathbf{n}=(2,2,1).
A norma dele é
\|\mathbf{n}\|=\sqrt{2^{2}+2^{2}+1^{2}}=\sqrt{9}=3,
logo o vetor normal unitário para fora é
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{n}}{\|\mathbf{n}\|}=\bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\bigr).

Passo 3

O gradiente de f é
\nabla f(x,y,z)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\Bigr)=(3,-5,2).
Como f é linear, esse valor é constante e vale (3,-5,2) também em (2,2,1).

Passo 4

A derivada direcional é o produto escalar
D_{\mathbf{u}}f=\nabla f\cdot\mathbf{u} =3\cdot\tfrac{2}{3}+(-5)\cdot\tfrac{2}{3}+2\cdot\tfrac{1}{3} =2-\tfrac{10}{3}+\tfrac{2}{3} =-\tfrac{2}{3}.

Resposta

-\tfrac{2}{3}

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