onde
, chamado de Laplaciano de
.
8. Em cada item abaixo calcule as derivadas direcionais de
especificadas:
(a)
no ponto (
) na direção do vetor normal unitário que aponta para fora da esfera
no ponto (
).
8. Em cada item abaixo calcule as derivadas direcionais de
(a)
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor normal unitário para fora da esfera
no mesmo ponto. Para isso, vamos usar que a derivada direcional em direção unitária
é
e que o vetor normal à esfera centrada na origem no ponto
é paralelo a
.
Passo 2
Em
o vetor normal (não unitário) é
A norma dele é
logo o vetor normal unitário para fora é
Passo 3
O gradiente de
é
Como
é linear, esse valor é constante e vale
também em
.
Passo 4
A derivada direcional é o produto escalar