De onde vem a distribuição amostral da média? Considere um processo que produz resistores com média populacional de 100 \Omega e desvio padrão de 5 \Omega. Se forem retiradas várias amostras de 10 resistores, e calculadas suas médias:
a) Que forma teria a distribuição dessas médias?
b) Por que ela não é idêntica à distribuição original dos resistores?

Passo 1

O enunciado informa que um processo produz resistores com média populacional \mu = 100\:\Omega e desvio padrão populacional \sigma = 5\:\Omega. Foram retiradas várias amostras, cada uma com n = 10 resistores, e para cada amostra foi calculada a média amostral (representada por \bar{X}). As perguntas são:
(a) Qual a forma da distribuição das médias amostrais \bar{X}?
(b) Por que essa distribuição das médias não é idêntica à distribuição original dos resistores?

Passo 2

O que é a “distribuição amostral da média”?
Definição concreta: sejam X_1, X_2,\dots,X_n as medidas dos n resistores de uma amostra (cada X_i é uma variável aleatória com mesma distribuição que o resistor do processo). A média amostral é
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i.
A “distribuição amostral da média” é a distribuição de probabilidade de \bar{X} quando repetimos o procedimento de tirar amostras e calcular a média muitas vezes. Ou seja, é a lei que rege os valores possíveis de \bar{X}.

Passo 3

Esperança (média) da média amostral — passo a passo didático:
Propriedade usada: a esperança é linear. Se cada X_i tem esperança E[X_i]=\mu, então
E[\bar{X}] = E\!\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right] = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E[X_i] = \frac{1}{n}\cdot n\mu = \mu.
Interpretação simples: a média amostral é um estimador não-viesado da média populacional; sua média (em muitas repetições do experimento) é \mu = 100\:\Omega.

Passo 4

Variância (e desvio padrão) da média amostral — passo a passo didático:
Assumimos que os X_i são independentes (cada resistor é medido sem afetar os outros). Para variância usamos que variância de uma soma de variáveis independentes é a soma das variâncias e que variância escala com o quadrado do fator:
\operatorname{Var}(\bar{X}) = \operatorname{Var}\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i) = \frac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}.
Logo o desvio padrão da média (chamado erro padrão) é
\operatorname{SD}(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Aplicando os números dados: \sigma=5\:\Omega e n=10,
\operatorname{SD}(\bar{X}) = \frac{5}{\sqrt{10}}\:\Omega \approx 1{,}5811\:\Omega.
Explicação prática: ao fazer a média de n observações, a variabilidade da média cai por um fator \sqrt{n}, por isso as médias amostrais são muito menos espalhadas que as observações individuais.

Passo 5

Qual é a forma (o formato) da distribuição de \bar{X}?
Aqui entram duas situações importantes:
  1. Se a distribuição original dos resistores for exatamente normal (isto é, cada X_i\sim N(\mu,\sigma^2)), então qualquer soma ou média linear de variáveis normais é também normal. Logo, para qualquer n,
\bar{X}\sim N\!\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right).
Isto significa que, no caso normal, a distribuição das médias é exatamente normal com média 100\:\Omega e desvio padrão 5/\sqrt{10}\:\Omega.
  1. Se a distribuição original não for normal, entra em cena o Teorema Central do Limite (TCL). O TCL diz, informalmente: quando n é grande, a distribuição de \bar{X} fica aproximadamente normal, independentemente da forma original, desde que X_i sejam independentes e tenham variância finita. Assim para amostras grandes \bar{X} é aproximadamente normal com média \mu e desvio padrão \sigma/\sqrt{n}. Para n=10 a aproximação pode já ser razoável se a distribuição original não for muito enviesada ou com caudas pesadas; mas se for muito assimétrica, n=10 pode ser pequeno — ainda assim, em muitas aplicações industriais (resistores) a distribuição individual costuma ser próxima da normal, então a distribuição das médias será quase normal mesmo para n=10.
Resumo da forma: portanto, a distribuição das médias será (i) exatamente normal se os resistores forem associados a uma distribuição normal; (ii) aproximadamente normal por efeito do TCL se os resistores não forem exatamente normais, com erro de aproximação caindo conforme n aumenta.

Passo 6

Intuição e por que a distribuição das médias não é idêntica à original
  • Averaging smooths out random variações: cada X_i traz um “ruído” em torno de \mu. Quando você soma/medeia n valores, as flutuações positivas e negativas tendem a compensar-se parcialmente, reduzindo a dispersão (variância) do resultado. Matematicamente vimos que a variância cai de \sigma^2 para \sigma^2/n.
  • Forma diferente porque escala é diferente: uma distribuição mais estreita (menor desvio padrão) tem aparência distinta — picos mais altos e caudas mais finas — em comparação com a distribuição original. Mesmo que as médias concentrem-se em torno do mesmo centro \mu, elas estarão menos espalhadas.
  • Se a distribuição original não for normal, a média tende a “normalizar” a forma por causa do TCL: somar/mediar muitas variáveis independentemente distribuídas tende a produzir uma forma próxima da normal, mesmo quando as parcelas individuais não são normais.
Exemplo numérico prático: um resistor individual tem desvio padrão 5\:\Omega. A média de 10 resistores tem desvio padrão 1{,}58\:\Omega. Assim as médias estarão muito mais concentradas em torno de 100\:\Omega do que as medidas individuais — por isso a distribuição das médias é visivelmente diferente da dos resistores individuais.

Passo 7

Conclusão final e dica para a prova (jeito curto de lembrar):
  • Fórmulas-chave: E[\bar{X}]=\mu e \operatorname{SD}(\bar{X})=\sigma/\sqrt{n}.
  • Forma: normal exata se os X_i forem normais; aproximadamente normal pelo Teorema Central do Limite para n suficientemente grande.
  • Por que não é igual: porque fazer médias reduz a variância em n vezes e tende a “regularizar” a forma da distribuição (efeito do TCL). Isso é a razão matemática e a intuição — prometo que na prova, escrever estas fórmulas e mencionar o TCL resolve o item de forma clara.

Resposta

(a) Aproximadamente normal com média 100\:\Omega e desvio padrão \dfrac{5}{\sqrt{10}}\:\Omega\approx 1{,}5811\:\Omega (se os resistores forem normais, então é exatamente N\!\big(100,\;25/10\big)).\n(b) Porque a média amostral tem variância reduzida: \operatorname{Var}(\bar{X})=\sigma^2/n, então a distribuição das médias é muito mais estreita que a distribuição original; além disso, pela Central Limit Theorem a média tende a ter forma (aproximadamente) normal mesmo quando a distribuição individual não é.

Exercícios relacionados