De onde vem a distribuição amostral da média? Considere um processo que produz resistores com média populacional de
e desvio padrão de
. Se forem retiradas várias amostras de 10 resistores, e calculadas suas médias:
a) Que forma teria a distribuição dessas médias?
b) Por que ela não é idêntica à distribuição original dos resistores?
a) Que forma teria a distribuição dessas médias?
b) Por que ela não é idêntica à distribuição original dos resistores?
Passo 1
O enunciado informa que um processo produz resistores com média populacional
e desvio padrão populacional
. Foram retiradas várias amostras, cada uma com
resistores, e para cada amostra foi calculada a média amostral (representada por
). As perguntas são:
(a) Qual a forma da distribuição das médias amostrais ?
(b) Por que essa distribuição das médias não é idêntica à distribuição original dos resistores?
(a) Qual a forma da distribuição das médias amostrais
(b) Por que essa distribuição das médias não é idêntica à distribuição original dos resistores?
Passo 2
O que é a “distribuição amostral da média”?
Definição concreta: sejam
as medidas dos
resistores de uma amostra (cada
é uma variável aleatória com mesma distribuição que o resistor do processo). A média amostral é
A “distribuição amostral da média” é a distribuição de probabilidade de
quando repetimos o procedimento de tirar amostras e calcular a média muitas vezes. Ou seja, é a lei que rege os valores possíveis de
.
Passo 3
Esperança (média) da média amostral — passo a passo didático:
Propriedade usada: a esperança é linear. Se cada
tem esperança
, então
Interpretação simples: a média amostral é um estimador não-viesado da média populacional; sua média (em muitas repetições do experimento) é
.
Passo 4
Variância (e desvio padrão) da média amostral — passo a passo didático:
Assumimos que os
são independentes (cada resistor é medido sem afetar os outros). Para variância usamos que variância de uma soma de variáveis independentes é a soma das variâncias e que variância escala com o quadrado do fator:
Logo o desvio padrão da média (chamado erro padrão) é
Aplicando os números dados:
e
,
Explicação prática: ao fazer a média de
observações, a variabilidade da média cai por um fator
, por isso as médias amostrais são muito menos espalhadas que as observações individuais.
Passo 5
Qual é a forma (o formato) da distribuição de
?
Aqui entram duas situações importantes:
- Se a distribuição original dos resistores for exatamente normal (isto é, cada
), então qualquer soma ou média linear de variáveis normais é também normal. Logo, para qualquer ,
Isto significa que, no caso normal, a distribuição das médias é exatamente normal com média
e desvio padrão
.
- Se a distribuição original não for normal, entra em cena o Teorema Central do Limite (TCL). O TCL diz, informalmente: quando
é grande, a distribuição de fica aproximadamente normal, independentemente da forma original, desde que sejam independentes e tenham variância finita. Assim para amostras grandes é aproximadamente normal com média e desvio padrão . Para a aproximação pode já ser razoável se a distribuição original não for muito enviesada ou com caudas pesadas; mas se for muito assimétrica, pode ser pequeno — ainda assim, em muitas aplicações industriais (resistores) a distribuição individual costuma ser próxima da normal, então a distribuição das médias será quase normal mesmo para .
Resumo da forma: portanto, a distribuição das médias será (i) exatamente normal se os resistores forem associados a uma distribuição normal; (ii) aproximadamente normal por efeito do TCL se os resistores não forem exatamente normais, com erro de aproximação caindo conforme
aumenta.
Passo 6
Intuição e por que a distribuição das médias não é idêntica à original
-
Averaging smooths out random variações: cada
traz um “ruído” em torno de . Quando você soma/medeia valores, as flutuações positivas e negativas tendem a compensar-se parcialmente, reduzindo a dispersão (variância) do resultado. Matematicamente vimos que a variância cai de para . -
Forma diferente porque escala é diferente: uma distribuição mais estreita (menor desvio padrão) tem aparência distinta — picos mais altos e caudas mais finas — em comparação com a distribuição original. Mesmo que as médias concentrem-se em torno do mesmo centro
, elas estarão menos espalhadas. -
Se a distribuição original não for normal, a média tende a “normalizar” a forma por causa do TCL: somar/mediar muitas variáveis independentemente distribuídas tende a produzir uma forma próxima da normal, mesmo quando as parcelas individuais não são normais.
Exemplo numérico prático: um resistor individual tem desvio padrão
. A média de
resistores tem desvio padrão
. Assim as médias estarão muito mais concentradas em torno de
do que as medidas individuais — por isso a distribuição das médias é visivelmente diferente da dos resistores individuais.
Passo 7
Conclusão final e dica para a prova (jeito curto de lembrar):
- Fórmulas-chave:
e . - Forma: normal exata se os
forem normais; aproximadamente normal pelo Teorema Central do Limite para suficientemente grande. - Por que não é igual: porque fazer médias reduz a variância em
vezes e tende a “regularizar” a forma da distribuição (efeito do TCL). Isso é a razão matemática e a intuição — prometo que na prova, escrever estas fórmulas e mencionar o TCL resolve o item de forma clara.
Resposta
(a) Aproximadamente normal com média
e desvio padrão
(se os resistores forem normais, então é exatamente
).\n(b) Porque a média amostral tem variância reduzida:
, então a distribuição das médias é muito mais estreita que a distribuição original; além disso, pela Central Limit Theorem a média tende a ter forma (aproximadamente) normal mesmo quando a distribuição individual não é.