Considerando a taxa de confiabilidade que foi registrada em 2000, é possível que a média de 1994 a 2000 seja de, no mínimo, 97%? Explique.

Passo 1

O enunciado pergunta se, considerando a taxa de confiabilidade registrada em 2000, é possível que a média de 1994 a 2000 seja, no mínimo, \,97\%.\n
Dados relevantes (peguei estes valores da figura apresentada): \,1994:96{,}5\%, \,1995:95{,}7\%, \,1996:95{,}9\%, \,1997:96{,}0\%, \,1998:95{,}8\%, \,1999:95{,}7\%. O valor de 2000 não está na figura (é a incógnita que queremos considerar).

Passo 2

Vamos revisar o conceito que precisamos usar: média aritmética. Se temos sete anos (1994 a 2000) com taxas \,r_{94},r_{95},\dots,r_{00}, a média aritmética \bar{r} é
\bar{r}=\frac{r_{94}+r_{95}+r_{96}+r_{97}+r_{98}+r_{99}+r_{00}}{7}.
Aqui cada r_{i} é a taxa de confiabilidade daquele ano (em porcentagem). Para que a média seja pelo menos \,97\% precisamos que
\frac{\text{soma dos 7 anos}}{7}\ge 97\%.
Vamos aplicar isso com os valores conhecidos e uma incógnita para o ano 2000.

Passo 3

Calculemos a soma das taxas conhecidas (1994–1999). Usando os valores da imagem:
96{,}5+95{,}7+95{,}9+96{,}0+95{,}8+95{,}7.
Somando passo a passo:
96{,}5+95{,}7=192{,}2,
192{,}2+95{,}9=288{,}1,
288{,}1+96{,}0=384{,}1,
384{,}1+95{,}8=479{,}9,
479{,}9+95{,}7=575{,}6.
Portanto a soma dos seis anos (1994–1999) é \,575{,}6\%.

Passo 4

Se chamarmos de \,x\% a taxa de 2000, a média de 1994 a 2000 será
\bar{r}=\frac{575{,}6+x}{7}.
Queremos saber se é possível ter \bar{r}\ge 97\%. Então impomos:
\frac{575{,}6+x}{7}\ge 97.
Multiplicando ambos os lados por 7:
575{,}6+x \ge 679.
Isolando x:
x \ge 679-575{,}6 = 103{,}4.

Passo 5

Interpretando o resultado: para que a média dos sete anos seja pelo menos \,97\% seria necessário que a taxa de 2000 fosse pelo menos \,103{,}4\%. Mas uma taxa de confiabilidade, sendo porcentagem realista, não pode exceder \,100\%. Portanto é impossível atingir a média desejada. Mesmo no caso extremo e irreal (mas limite) de x=100\%, a média seria
\bar{r}=\frac{575{,}6+100}{7}=\frac{675{,}6}{7}=96{,}514\ldots\%<97\%.

Resposta

Não é possível; mesmo com \,100\% em 2000 a média de 1994 a 2000 seria aproximadamente \,96{,}51\%<97\%.

Exercícios relacionados