Um ônibus transporta 31 estudantes baianos e mineiros para um encontro de participantes da OBMEP. Entre os baianos, 2/5 são homens e, entre os mineiros, 3/7 são mulheres. Entre todos os estudantes há quantas mulheres? *
A) 21
B) 18
C) 15
D) 14
E) 12
A) 21
B) 18
C) 15
D) 14
E) 12
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos um ônibus com 31 estudantes, alguns são baianos e outros são mineiros. Sabemos que entre os baianos, 2/5 são homens, e entre os mineiros, 3/7 são mulheres. Precisamos descobrir quantas mulheres há no total entre todos os estudantes.
Passo 2
Primeiro, vamos separar os estudantes em duas categorias: baianos e mineiros. Vamos chamar de $ B $ o número de baianos e de $ M $ o número de mineiros. Sabemos que:
Passo 3
Agora, vamos analisar as informações sobre gênero em cada grupo.
- Baianos: 2/5 são homens, então 3/5 são mulheres.
- Mineiros: 3/7 são mulheres.
Queremos encontrar o total de mulheres, que será a soma das mulheres baianas e mineiras.
Passo 4
Vamos expressar o número de mulheres em cada grupo.
- Mulheres baianas: $ \frac{3}{5}B $
- Mulheres mineiras: $ \frac{3}{7}M $
O total de mulheres será:
Passo 5
Lembrando que $ B + M = 31 $, podemos expressar $ B = 31 - M $ e substituir na expressão das mulheres:
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação para encontrar o valor de $ M $:
Multiplicando cada termo para eliminar os denominadores:
Mas como estamos procurando apenas o número total de mulheres, podemos simplificar o processo resolvendo diretamente a equação original:
Vamos estimar que $ W = $ número de mulheres.
Passo 7
Para simplificar, vamos tentar encontrar valores que satisfaçam a condição $ B + M = 31 $ e calculam o número de mulheres.
Vamos testar as opções:
Opção C: 15 mulheres
Se $ W = 15 $, então:
Resolvendo:
Multiplicando tudo por 35 para eliminar os denominadores:
Então, $ M = 31 - 10 = 21 $
Número de mulheres:
Resposta
A alternativa correta é C) 15 mulheres.