A operação de concatenação de duas listas foi definida recursivamente na Definição 8. Justifique que essa definição é uma função, mostrando que ela satisfaz os critérios de totalidade e terminação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a concatenação de duas listas usando uma definição recursiva, conforme a Definição 8. Nosso objetivo aqui é mostrar que essa definição é uma função, ou seja, que ela sempre dá um resultado válido (totalidade) e que essa operação sempre termina (terminação). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções, recursão e como garantir que tudo funcione direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função. Em matemática e programação, uma função é como uma máquina que pega uma entrada, faz algo com ela e dá uma saída. Para que algo seja considerado uma função, ele precisa ser total, ou seja, deve produzir uma saída para todas as possíveis entradas, e deve terminar em algum momento, sem ficar preso em um loop infinito.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a concatenação de listas. Basicamente, concatenar duas listas significa juntar os elementos de uma lista com os da outra, mantendo a ordem. Por exemplo, concatenar [1, 2] com [3, 4] resulta em [1, 2, 3, 4].

Passo 4

A Definição 8 que menciona usa uma abordagem recursiva para definir a concatenação. Recursão é quando uma função se chama para resolver partes menores do mesmo problema. No caso da concatenação, podemos definir assim:
  1. Caso base: Concatenar uma lista vazia com outra lista B resulta na lista B. concat([], B) = B
    2. Caso recursivo: Se a primeira lista tem um elemento head e um tail, então concatenar essa lista com B é igual a uma nova lista com o head seguido da concatenação do tail com B.
    concat([head | tail], B) = [head | concat(tail, B)]

Passo 5

Vamos verificar a totalidade. Queremos ver se, para qualquer duas listas A e B, a concatenação sempre dá uma lista resultante. Olhando para a definição:
  • Se A for uma lista vazia, o resultado é sempre B, ou seja, temos uma saída definida.
  • Se A não for vazia, a definição recursiva sempre quebra A em head e tail, e aplica a concatenação novamente no tail e B.
Isso cobre todos os casos possíveis para A, garantindo que sempre teremos um resultado. Portanto, a função de concatenação é total.

Passo 6

Agora, vamos garantir a terminação. A recursão aqui se baseia em dividir a lista A em head e tail. A cada passo recursivo, estamos reduzindo o tamanho de A porque estamos removendo o head e trabalhando apenas com o tail. Como todo processo recursivo está diminuindo o tamanho de A até eventualmente atingir a lista vazia, a operação vai terminar após um número finito de passos. Não há possibilidade de ficar preso em um loop infinito.

Resposta

Então, mostramos que a definição recursiva de concatenação de duas listas satisfaz os critérios de totalidade e terminação, confirmando que essa definição é realmente uma função.

Exercícios relacionados