A operação de concatenação de duas listas foi definida recursivamente na Definição 8. Justifique que essa definição é uma função, mostrando que ela satisfaz os critérios de totalidade e terminação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a concatenação de duas listas usando uma definição recursiva, conforme a Definição 8. Nosso objetivo aqui é mostrar que essa definição é uma função, ou seja, que ela sempre dá um resultado válido (totalidade) e que essa operação sempre termina (terminação). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções, recursão e como garantir que tudo funcione direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função. Em matemática e programação, uma função é como uma máquina que pega uma entrada, faz algo com ela e dá uma saída. Para que algo seja considerado uma função, ele precisa ser total, ou seja, deve produzir uma saída para todas as possíveis entradas, e deve terminar em algum momento, sem ficar preso em um loop infinito.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a concatenação de listas. Basicamente, concatenar duas listas significa juntar os elementos de uma lista com os da outra, mantendo a ordem. Por exemplo, concatenar
[1, 2]
com [3, 4]
resulta em [1, 2, 3, 4]
.Passo 4
A Definição 8 que menciona usa uma abordagem recursiva para definir a concatenação. Recursão é quando uma função se chama para resolver partes menores do mesmo problema. No caso da concatenação, podemos definir assim:
- Caso base: Concatenar uma lista vazia com outra lista
B
resulta na listaB
.
2. Caso recursivo: Se a primeira lista tem um elementohead
e umtail
, então concatenar essa lista comB
é igual a uma nova lista com ohead
seguido da concatenação dotail
comB
.
Passo 5
Vamos verificar a totalidade. Queremos ver se, para qualquer duas listas
A
e B
, a concatenação sempre dá uma lista resultante. Olhando para a definição:- Se
A
for uma lista vazia, o resultado é sempreB
, ou seja, temos uma saída definida. - Se
A
não for vazia, a definição recursiva sempre quebraA
emhead
etail
, e aplica a concatenação novamente notail
eB
.
Isso cobre todos os casos possíveis para
A
, garantindo que sempre teremos um resultado. Portanto, a função de concatenação é total.Passo 6
Agora, vamos garantir a terminação. A recursão aqui se baseia em dividir a lista
A
em head
e tail
. A cada passo recursivo, estamos reduzindo o tamanho de A
porque estamos removendo o head
e trabalhando apenas com o tail
. Como todo processo recursivo está diminuindo o tamanho de A
até eventualmente atingir a lista vazia, a operação vai terminar após um número finito de passos. Não há possibilidade de ficar preso em um loop infinito.Resposta
Então, mostramos que a definição recursiva de concatenação de duas listas satisfaz os critérios de totalidade e terminação, confirmando que essa definição é realmente uma função.