Em um operação de corte ortogonal, uma ferramenta tem um ângulo de saída de 15^{\circ}. A espessura do cavaco indeformado foi de 0,30 \mathrm{~mm} e o corte produz uma espessura de cavaco de 0,65 \mathrm{~mm}. Calcule o ângulo do plano de cisalhamento do cavaco.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o ângulo do plano de cisalhamento do cavaco (denotado por \varphi). Os dados fornecidos são:
  • ângulo de saída (ângulo de ferramenta / rake) \alpha = 15^\circ;
  • espessura do cavaco indeformado t_1 = 0,30\\ \mathrm{mm};
  • espessura do cavaco formado t_2 = 0,65\\ \mathrm{mm}.
O objetivo: encontrar \varphi a partir desses dados.

Passo 2

Explicação geométrica e fórmula básica (passo didático).
Imagine o plano de cisalhamento com comprimento l. Projetando esse comprimento nas direções apropriadas obtém-se:
  • a espessura indeformada como a componente perpendicular ao plano de corte:
t_1 = l\sin\varphi,
  • a espessura do cavaco ao longo da face da ferramenta (projeção do mesmo comprimento na direção perpendicular à aresta de corte, considerando o ângulo de saída \alpha):
t_2 = l\cos(\varphi-\alpha).
Essas duas expressões são apenas projeções trigonométricas do mesmo comprimento l. Dividindo-as surge a relação entre as espessuras e o ângulo \varphi:
\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sin\varphi}{\cos(\varphi-\alpha)}.
Definindo a razão r=\dfrac{t_1}{t_2}, temos
r=\frac{\sin\varphi}{\cos(\varphi-\alpha)}.

Passo 3

Isolando \varphi a partir da relação anterior (algebra passo a passo).
Partimos de
r\cos(\varphi-\alpha)=\sin\varphi.
Usando a identidade \cos(\varphi-\alpha)=\cos\varphi\cos\alpha+\sin\varphi\sin\alpha obtemos
r(\cos\varphi\cos\alpha+\sin\varphi\sin\alpha)=\sin\varphi.
Reorganizando os termos que contêm \sin\varphi:
r\cos\varphi\cos\alpha = \sin\varphi(1-r\sin\alpha).
Dividindo ambos os lados por \cos\varphi e por (1-r\sin\alpha) (assumindo (1-r\sin\alpha)\neq0) obtemos a expressão para \tan\varphi:
\tan\varphi=\frac{r\cos\alpha}{1-r\sin\alpha}.
Essa fórmula é prática na prova: primeiro calcula-se r, depois aplica-se essa fórmula e finalmente \varphi=\arctan(\cdot).

Passo 4

Cálculo numérico do parâmetro r.
r=\frac{t_1}{t_2}=\frac{0,30}{0,65}=\frac{6}{13}\approx 0,461538.

Passo 5

Calcular \tan\varphi usando \alpha=15^\circ (valores trigonométricos numéricos).
Primeiro as funções trigonométricas de \alpha:
\sin 15^\circ \approx 0,258819,\qquad \cos 15^\circ \approx 0,965926.
Agora a fórmula
\tan\varphi=\frac{r\cos\alpha}{1-r\sin\alpha}.
Substituindo os números:
\tan\varphi=\frac{0,461538\cdot 0,965926}{1-0,461538\cdot 0,258819} =\frac{0,445812}{0,880544}\approx 0,506353.

Passo 6

Obter \varphi a partir da tangente e checagem rápida.
\varphi=\arctan(0,506353)\approx 26,79^\circ.
Uma checagem rápida: calcule \dfrac{\sin\varphi}{\cos(\varphi-\alpha)} com \varphi\approx26,79^\circ e veja que volta aproximadamente r\approx0,4615, confirmando a consistência.

Resposta

\varphi \approx 26,79^\circ

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