Em uma operação de torneamento, um termopar cavaco-ferramenta foi utilizado para medir a temperatura de corte. Os dados de temperatura, a seguir, foram coletados durante as usinagens em três velocidades de corte diferentes (o avanço e a profundidade foram mantidos constantes): (1) v = 100 \mathrm{~m} / \mathrm{min}, \mathrm{T}= 505^{\circ} \mathrm{C}, (2) \mathrm{v}=130 \mathrm{~m} / \mathrm{min}, \mathrm{T}=552^{\circ} \mathrm{C}, (3) \mathrm{v}=160 \mathrm{~m} / \mathrm{min}, \mathrm{T}=592^{\circ} \mathrm{C}. Determine a equação para a temperatura em função da velocidade de corte que tenha a forma da equação de Trigger, Eq. (15.23).
Passo 1
O enunciado fornece três medições de temperatura em uma operação de torneamento, todas com o mesmo avanço e mesma profundidade, variando somente a velocidade de corte. Os dados são:
Para v=100\\ \mathrm{m/min}: T=505^\circ\mathrm{C}.
Para v=130\\ \mathrm{m/min}: T=552^\circ\mathrm{C}.
Para v=160\\ \mathrm{m/min}: T=592^\circ\mathrm{C}.
O que se pede: determinar a equação para a temperatura em função da velocidade de corte que tenha a forma da equação de Trigger (Eq. (15.23) indicada pelo enunciado).
Passo 2
A forma usual da equação de Trigger usada em usinagem para relacionar temperatura com velocidade de corte é uma lei do tipo potência com um termo de deslocamento:
T = T_0 + k\,v^{\,n},
onde:
T é a temperatura de corte em ^\circ\mathrm{C},
v é a velocidade de corte em \mathrm{m/min},
T_0 é um deslocamento (temperatura de referência, em ^\circ\mathrm{C}),
k é um coeficiente (unidades ^\circ\mathrm{C}/(\mathrm{m/min})^{n}),
n é o expoente (adimensional) que descreve como a temperatura cresce com v.
Explicando a ideia: essa equação diz que, além de uma base T_0, a contribuição de aquecimento cresce com v^{n}. Nosso objetivo é determinar T_0, k e n a partir das três medições (três incógnitas → sistema determinável).
Passo 3
Escrevendo a equação para cada ponto medido obtemos o sistema:
Subtraindo a primeira equação das segunda e terceira para eliminar T_0\):
\[\begin{cases} k\bigl(130^{n}-100^{n}\bigr)=552-505=47,\\[6pt] k\bigl(160^{n}-100^{n}\bigr)=592-505=87. \end{cases}
Dividindo a primeira linha pela segunda para eliminar k\]:
\[\frac{130^{n}-100^{n}}{160^{n}-100^{n}}=\frac{47}{87}.\]
Para simplificar, fatoramos \(100^{n}:
T previsto = T_0 + k\,160^{n}\approx -74{,}7 + 146{,}9\times 4{,}5369 \approx -74{,}7 + 666{,}7 \approx 592{,}0^\circ\mathrm{C},
que está em excelente acordo com a medição 592^\circ\mathrm{C}.
Passo 6
Escrevendo a equação final com coeficientes arredondados razoavelmente (três algarismos significativos nos parâmetros):
T(v)\approx -74{,}7 + 146{,}9\,v^{0{,}298},
com v em \mathrm{m/min} e T em ^\circ\mathrm{C}.
Interpretação rápida e incentivo: o expoente n menor que 1 mostra que a temperatura cresce com a velocidade, mas de forma sublinear — ou seja, subir um pouco a velocidade aumenta a temperatura, mas o aumento relativo diminui. Boa! Você já tem a equação no mesmo formato da Eq. de Trigger pedida — agora dá pra usar na prova para prever temperatura a partir de v.
Resposta
T(v) \approx -74{,}7 + 146{,}9\,v^{0{,}298} (com v em \mathrm{m/min} e T em ^\circ\mathrm{C}).