Em uma operação de torneamento, um termopar cavaco-ferramenta foi utilizado para medir a temperatura de corte. Os dados de temperatura, a seguir, foram coletados durante as usinagens em três velocidades de corte diferentes (o avanço e a profundidade foram mantidos constantes): (1) v = 100 \mathrm{~m} / \mathrm{min}, \mathrm{T}= 505^{\circ} \mathrm{C}, (2) \mathrm{v}=130 \mathrm{~m} / \mathrm{min}, \mathrm{T}=552^{\circ} \mathrm{C}, (3) \mathrm{v}=160 \mathrm{~m} / \mathrm{min}, \mathrm{T}=592^{\circ} \mathrm{C}. Determine a equação para a temperatura em função da velocidade de corte que tenha a forma da equação de Trigger, Eq. (15.23).

Passo 1

O enunciado fornece três medições de temperatura em uma operação de torneamento, todas com o mesmo avanço e mesma profundidade, variando somente a velocidade de corte. Os dados são:
  • Para v=100\\ \mathrm{m/min}: T=505^\circ\mathrm{C}.
  • Para v=130\\ \mathrm{m/min}: T=552^\circ\mathrm{C}.
  • Para v=160\\ \mathrm{m/min}: T=592^\circ\mathrm{C}.
O que se pede: determinar a equação para a temperatura em função da velocidade de corte que tenha a forma da equação de Trigger (Eq. (15.23) indicada pelo enunciado).

Passo 2

A forma usual da equação de Trigger usada em usinagem para relacionar temperatura com velocidade de corte é uma lei do tipo potência com um termo de deslocamento:
T = T_0 + k\,v^{\,n},
onde:
  • T é a temperatura de corte em ^\circ\mathrm{C},
  • v é a velocidade de corte em \mathrm{m/min},
  • T_0 é um deslocamento (temperatura de referência, em ^\circ\mathrm{C}),
  • k é um coeficiente (unidades ^\circ\mathrm{C}/(\mathrm{m/min})^{n}),
  • n é o expoente (adimensional) que descreve como a temperatura cresce com v.
Explicando a ideia: essa equação diz que, além de uma base T_0, a contribuição de aquecimento cresce com v^{n}. Nosso objetivo é determinar T_0, k e n a partir das três medições (três incógnitas → sistema determinável).

Passo 3

Escrevendo a equação para cada ponto medido obtemos o sistema:
\begin{cases} T_0 + k\,(100)^{n} = 505,\\[6pt] T_0 + k\,(130)^{n} = 552,\\[6pt] T_0 + k\,(160)^{n} = 592. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação das segunda e terceira para eliminar T_0\): \[\begin{cases} k\bigl(130^{n}-100^{n}\bigr)=552-505=47,\\[6pt] k\bigl(160^{n}-100^{n}\bigr)=592-505=87. \end{cases}
Dividindo a primeira linha pela segunda para eliminar k\]: \[\frac{130^{n}-100^{n}}{160^{n}-100^{n}}=\frac{47}{87}.\] Para simplificar, fatoramos \(100^{n}:
\frac{100^{n}\bigl(1.3^{n}-1\bigr)}{100^{n}\bigl(1.6^{n}-1\bigr)}=\frac{1.3^{n}-1}{1.6^{n}-1}=\frac{47}{87}.
Logo devemos resolver para n a equação não linear
\frac{1.3^{n}-1}{1.6^{n}-1}=\frac{47}{87}\approx 0{,}5402298851.]

Passo 4

Resolvendo numericamente para n. Vou usar um método simples (bissecção / tentativa e ajuste) e avaliar a função
f(n)=\frac{1.3^{n}-1}{1.6^{n}-1}-\frac{47}{87}.
Avaliações rápidas:
  • Para n=1: \dfrac{1.3-1}{1.6-1}=\dfrac{0{,}3}{0{,}6}=0{,}5\Rightarrow f(1)\approx -0{,}04023 (negativo).
  • Para n=0{,}3: calcular 1.3^{0{,}3} e 1.6^{0{,}3}.
    • 1.3^{0{,}3}=\mathrm{e}^{0{,}3\ln 1{,}3}\approx \mathrm{e}^{0{,}078709}\approx 1{,}0818.
    • 1.6^{0{,}3}=\mathrm{e}^{0{,}3\ln 1{,}6}\approx \mathrm{e}^{0{,}141001}\approx 1{,}1515.
    • Razão \approx \dfrac{0{,}0818}{0{,}1515}\approx 0{,}5403\Rightarrow f(0{,}3)\approx +7\cdot10^{-5} (positivo muito pequeno).
  • Como f(1)<0 e f(0{,}3)>0, a raiz está entre 0{,}3 e 1; já vemos que cerca de n\approx 0{,}3.
Refinando com valores próximos a 0{,}3:
  • Para n=0{,}298:
    • 1.3^{0{,}298}\approx \mathrm{e}^{0{,}298\ln1{,}3}\approx 1{,}081195.
    • 1.6^{0{,}298}\approx \mathrm{e}^{0{,}298\ln1{,}6}\approx 1{,}150341.
    • Razão \dfrac{1{,}081195-1}{1{,}150341-1}=\dfrac{0{,}081195}{0{,}150341}\approx 0{,}54025.
    • Comparando com 47/87\approx0{,}5402299, a diferença é da ordem 2\times10^{-5}, aceitável para três casas decimais.
Portanto tomamos
n \approx 0{,}298.

Passo 5

Com n conhecido, voltamos para calcular k e T_0. Usando a equação que veio da diferença entre os dois primeiros pontos:
k\bigl(130^{n}-100^{n}\bigr)=47
ou seja
k=\frac{47}{130^{n}-100^{n}}.
Calculemos 100^{n} e 130^{n} com n=0{,}298:
  • 100^{n}=(10^{2})^{n}=10^{2n}=10^{0{,}596}\approx 3{,}9439.
  • 130^{n}=100^{n}\cdot 1.3^{n}\approx 3{,}9439\times 1{,}081195\approx 4{,}2629.
Logo
130^{n}-100^{n}\approx 4{,}2629-3{,}9439=0{,}3190,
k\approx\frac{47}{0{,}3190}\approx 147{,}0\\ (\text{aprox.}).
(Arredondando com sensatez, usarei k\approx 146{,}9.)
Agora T_0 pela primeira medida:
T_0 = 505 - k\,(100)^{n}.
Substituindo:
T_0 \approx 505 - 146{,}9\times 3{,}9439 \approx 505 - 579{,}7 \approx -74{,}7\\ ^\circ\mathrm{C}.
Verificação rápida com o terceiro ponto v=160\\ \mathrm{m/min}:
  • 160^{n}=100^{n}\cdot 1.6^{n}\approx 3{,}9439\times 1{,}150341\approx 4{,}5369.
  • T previsto = T_0 + k\,160^{n}\approx -74{,}7 + 146{,}9\times 4{,}5369 \approx -74{,}7 + 666{,}7 \approx 592{,}0^\circ\mathrm{C},
    que está em excelente acordo com a medição 592^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Escrevendo a equação final com coeficientes arredondados razoavelmente (três algarismos significativos nos parâmetros):
T(v)\approx -74{,}7 + 146{,}9\,v^{0{,}298},
com v em \mathrm{m/min} e T em ^\circ\mathrm{C}.
Interpretação rápida e incentivo: o expoente n menor que 1 mostra que a temperatura cresce com a velocidade, mas de forma sublinear — ou seja, subir um pouco a velocidade aumenta a temperatura, mas o aumento relativo diminui. Boa! Você já tem a equação no mesmo formato da Eq. de Trigger pedida — agora dá pra usar na prova para prever temperatura a partir de v.

Resposta

T(v) \approx -74{,}7 + 146{,}9\,v^{0{,}298} (com v em \mathrm{m/min} e T em ^\circ\mathrm{C}).

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