15.22 Considere operação de torneamento executada em um aço cuja dureza = 225 HB , a velocidade =3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, avanço =0,25 \mathrm{~mm} e profundidade =4,0 \mathrm{~mm}. Utilizando os valores das propriedades térmicas encontradas nas tabelas e definições das Seções 3.6 e 3.7, e o valor adequado para a energia específica da Tabela 15.2, calcule uma estimativa da temperatura de corte utilizando a equação de Cook. Assuma que a temperatura ambiente =20^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede uma estimativa da temperatura de corte usando a equação de Cook. Os dados fornecidos são:
  • dureza: 225\\ \text{HB};
  • velocidade de corte: V = 3{,}0\\ \mathrm{m/s};
  • avanço: f = 0{,}25\\ \mathrm{mm} (assumido em \mathrm{mm/rev} mas, para a conta de MRR, usa-se diretamente como comprimento por unidade de aresta cortante);
  • profundidade de corte: a_p = 4{,}0\\ \mathrm{mm};
  • temperatura ambiente: T_a = 20^\circ\mathrm{C}.
O enunciado também manda usar:
  • o valor adequado da energia específica da Tabela 15.2 (denotada por u, em \mathrm{J/mm^{3}});
  • as propriedades térmicas das tabelas (densidade \rho, calor específico c, etc.) e definições das Seções 3.6 e 3.7.
Observação importante: o enunciado depende explicitamente de valores tabelados (energia específica u e propriedades térmicas). Essas tabelas não foram enviadas aqui; por isso falta a informação numérica necessária para obter o valor final numérico. A resolução abaixo mostra passo a passo como calcular a temperatura a partir dessas tabelas — assim você só precisa pegar os números nelas e substituir no último passo.

Passo 2

Qual é a ideia física (aula básica e divertida)?
  • A energia necessária para remover um volume unitário de material na usinagem é a energia específica u (unidade típica: \mathrm{J/mm^{3}}). Multiplicando u pela taxa de remoção de volume obtém-se a potência de corte.
  • Uma aproximação simples (a “equação de Cook” na forma usada em cursos de usinagem) parte de um balanço de energia por unidade de volume: a energia por volume u aquece o próprio material removido (chip) e/ou a zona de cisalhamento. Se uma fração \beta dessa energia é convertida em aquecimento do volume considerado, o aumento de temperatura resultante é
\Delta T \;=\; \frac{\beta\,u}{\rho\,c}.
Explicando cada símbolo:
  • \Delta T é a elevação de temperatura (em \mathrm{K} ou ^\circ\mathrm{C});
  • \beta é a fração da energia específica que efetivamente aparece como calor na massa considerada (adimensional, tipicamente 0{,}7 0{,}95 dependendo do processo; para aços costuma-se usar um valor próximo de 0{,}9 como estimativa);
  • u é a energia específica de corte (em \mathrm{J/mm^{3}}), valor que vem da Tabela 15.2 (varia com dureza, velocidade, etc.);
  • \rho é a densidade do material (em \mathrm{kg/mm^{3}} se usar \mathrm{mm} nas outras unidades — atenção às conversões);
  • c é o calor específico (em \mathrm{J/(kg\cdot K)}).
Por que essa fórmula faz sentido (derivação curta e didática)?
  • Pegue um volume unitário de material V_0=1\\ \mathrm{mm^{3}}. A energia que entra nesse volume é E = \beta\,u (em \mathrm{J}).
  • A massa desse volume é m=\rho V_0=\rho\cdot 1\\ \mathrm{mm^{3}}.
  • A elevação de temperatura é dada por E = m c \Delta T, então
\Delta T = \frac{E}{m c} = \frac{\beta\,u}{\rho\,c}.
  • A temperatura final estimada é então
T_{\text{corte}} = T_a + \Delta T = T_a + \frac{\beta\,u}{\rho\,c}.
Isso é uma estimativa simples, direta e muito usada para obter uma ordem de grandeza na prova — não dá campos espaciais de temperatura, mas dá um valor razoável para a temperatura média do material levado ao estado de corte.

Passo 3

Converter e organizar unidades para aplicar a fórmula sem confusão.
  • Ao trabalhar com u em \mathrm{J/mm^{3}} é conveniente usar \rho em \mathrm{kg/mm^{3}}. Como referência prática:
\rho_{\text{aço}} \approx 7{,}800\\ \mathrm{kg/m^{3}} = 7{,}8\times 10^{-6}\\ \mathrm{kg/mm^{3}}.ç
Sempre pegue \rho e c nas tabelas do seu material (Sec. 3.6/3.7). O calor específico do aço comumente vale cerca de c\approx 460\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, mas use o valor da tabela quando fizer a conta real.
  • Produto \rho c em unidades consistentes:
\rho c \;(\mathrm{J/(mm^{3}\cdot K)}) = (\rho\\ \mathrm{kg/mm^{3}})\times(c\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}).
  • Com os valores de referência citados:
\rho = 7{,}8\times 10^{-6}\\ \mathrm{kg/mm^{3}},\qquad c = 460\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},
\rho c = 7{,}8\times 10^{-6}\times 460 = 0{,}003588\\ \mathrm{J/(mm^{3}\cdot K)}.
  • Assim a constante numa forma prática fica
\frac{1}{\rho c}\approx \frac{1}{0{,}003588}\approx 278{,}7\\ \mathrm{K\cdot mm^{3}/J}.

Passo 4

Aplicar a fórmula e mostrar como obter o valor numérico depois de pegar u e \beta nas tabelas.
  • Fórmula final a usar:
T_{\text{corte}} = T_a + \frac{\beta\,u}{\rho\,c}.
  • Substituindo a constante numérica obtida no passo anterior (usando os valores de referência para aço):
T_{\text{corte}} \approx 20^\circ\mathrm{C} + 278{,}7\;\beta\;u,
onde u está em \mathrm{J/mm^{3}} e o resultado está em ^\circ\mathrm{C} (ou K, a diferença é a mesma para variações de temperatura).
  • Sobre \beta: escolha conforme orientação das suas seções/tabelas. Uma escolha usual para corte em aços é \beta\approx 0{,}9. Então, com esse \beta fixo:
T_{\text{corte}} \approx 20^\circ\mathrm{C} + 278{,}7\times 0{,}9 \times u \approx 20^\circ\mathrm{C} + 250{,}8\;u.
Isso significa que cada 1\\ \mathrm{J/mm^{3}} de energia específica eleva a temperatura em cerca de 250{,}8^\circ\mathrm{C} sob essas hipóteses.

Passo 5

Exemplos numéricos (para você ter ideia do efeito do u e escolher plausíveis valores da Tabela 15.2).
  • Se a tabela der u = 2{,}0\\ \mathrm{J/mm^{3}} (valor ilustrativo), então
T_{\text{corte}} \approx 20 + 250{,}8\times 2{,}0 = 20 + 501{,}6 \approx 521{,}6^\circ\mathrm{C}.
  • Se a tabela der u = 3{,}0\\ \mathrm{J/mm^{3}},
T_{\text{corte}} \approx 20 + 250{,}8\times 3{,}0 = 20 + 752{,}4 \approx 772{,}4^\circ\mathrm{C}.
  • Se u = 4{,}0\\ \mathrm{J/mm^{3}},
T_{\text{corte}} \approx 20 + 250{,}8\times 4{,}0 = 20 + 1003{,}2 \approx 1023{,}2^\circ\mathrm{C}.
Esses valores são só exemplos para você ver a sensibilidade: a energia específica é o parâmetro crucial.

Passo 6

O que você precisa fazer na prova (resumo prático que funciona rápido):
  1. Pegue u da Tabela 15.2 para aço com dureza 225\\ \text{HB} (unidade \mathrm{J/mm^{3}}).
  2. Pegue \rho e c das tabelas (Seções 3.6/3.7); se preferir usar valores típicos: \rho=7{,}8\times10^{-6}\\ \mathrm{kg/mm^{3}}, c=460\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  3. Escolha \beta conforme a definição na seção indicada (ou use \beta\approx 0{,}9 como estimativa).
  4. Calcule
T_{\text{corte}} = T_a + \frac{\beta\,u}{\rho\,c}.
  1. Troque u, \rho, c, \beta pelos valores da prova e obtenha o número final — é só multiplicar.

Resposta

Não é possível calcular numericamente a temperatura final aqui porque os valores numéricos da energia específica u (Tabela 15.2) e das propriedades térmicas ( \rho, c) não foram fornecidos. Use a fórmula
T_{\text{corte}} = T_a + \frac{\beta\,u}{\rho\,c}
e insira os valores de u, \beta, \rho e c das tabelas solicitadas para obter a estimativa numérica.

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