15.23 Uma operação de corte ortogonal é executada em determinado metal cujo calor específico volumétrico =110 \mathrm{lbf} in / \mathrm{in} 3{ }^{\circ} \mathrm{F} e difusividade térmica =0,140 in2/s. A velocidade de corte =350 \mathrm{ft} / \mathrm{min}, a espessura do cavaco indeformado = 0,008 \mathrm{in} e a largura de corte =0,100 \mathrm{in}. A força de corte é medida em 200 lbf . Utilizando a equação de Cook, determine a temperatura de corte, supondo que a temperatura ambiente =70^{\circ} \mathrm{F}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • calor específico volumétrico: \rho c = 110 lbf·in / (in ^3· ^\circF), isto é, unidades de energia por volume por grau;
    • difusividade térmica: \alpha = 0{,}140 in ^2/s;
    • velocidade de corte: v = 350 ft/min;
    • espessura do cavaco indeformado: t = 0{,}008 in;
    • largura de corte (largura do cavaco): w = 0{,}100 in;
    • força de corte: F_c = 200 lbf;
    • temperatura ambiente: T_0 = 70^\circ\mathrm{F}.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a temperatura de corte (ou seja, a temperatura no local onde o corte ocorre), usando a equação de Cook.

Passo 2

Explicar a equação de Cook e a idéia física por trás dela (passo-a-passo, sem pular etapas).
  1. O raciocínio físico (ideia intuitiva):
    • Quando a ferramenta corta, o trabalho mecânico realizado pela força de corte sobre uma distância é convertido em calor. Por unidade de comprimento cortado (isto é, quando a ferramenta avançar 1 in), a energia fornecida é igual a F_c\cdot 1 (no sistema lbf·in; aqui usaremos o fato de que energia por unidade de comprimento é numericamente F_c em lbf, porque força × distância 1 in = energia por comprimento).
    • Essa energia aquece uma camada do material próxima à superfície. A profundidade efetiva na qual o calor penetra enquanto o material está sob a ação do ponto de corte é chamada de profundidade de penetração térmica \delta. Uma estimativa razoável para \delta vem da difusão térmica: em um tempo \tau típico, a profundidade que o calor penetra é \delta \approx \sqrt{\alpha \tau}.
    • Qual é esse tempo \tau? Um elemento de material que está sendo cortado leva um tempo \tau para atravessar a zona de geração de calor. Se a espessura do cavaco inicialmente é t e a velocidade relativa é v, esse tempo é aproximadamente \tau = t/v.
    • Assim \delta \approx \sqrt{\alpha\,\dfrac{t}{v}} = \sqrt{\dfrac{\alpha t}{v}}.
  2. Energia por unidade de comprimento disponível para aquecer o volume:
    • Volume aquecido por unidade de comprimento (comprimento = 1 in ao longo da direção do corte) é V = w\cdot \delta\cdot 1 = w\delta (unidade: in ^3 por in de comprimento).
    • Para elevar esse volume em \Delta T, a energia requerida (por unidade de comprimento) é E = \rho c \, V \, \Delta T = \rho c \, w \, \delta \, \Delta T, onde \rho c é a capacidade térmica volumétrica (energia por volume por grau).
    • Igualando a energia disponível por unidade de comprimento (que é F_c, como explicado) com a energia absorvida: F_c = \rho c \, w \, \delta \, \Delta T.
    • Daí: \Delta T \equiv T_{\text{corte}} - T_0 = \frac{F_c}{\rho c \, w \, \delta}.
  3. Substituindo \delta = \sqrt{\dfrac{\alpha t}{v}} obtém-se a forma prática da chamada equação de Cook usada aqui:
    \Delta T = \frac{F_c}{\rho c \, w \, \sqrt{\dfrac{\alpha t}{v}}} \quad\Longrightarrow\quad \Delta T = \frac{F_c}{\rho c \, w}\,\sqrt{\frac{v}{\alpha t}}.
    • Nesta fórmula:
      • F_c é a força de corte (lbf),
      • \rho c é a capacidade térmica volumétrica (lbf·in/(in^3·°F)),
      • w é a largura do cavaco (in),
      • v é a velocidade de corte (in/s),
      • \alpha é a difusividade térmica (in ^2/s),
      • t é a espessura do cavaco indeformado (in).
    • Observação sobre unidades: a escolha de unidades dadas faz com que tudo se cancele corretamente e \Delta T saia em ^\circ\mathrm{F}. Bom!

Passo 3

Converter as unidades e calcular a profundidade de penetração térmica \delta.
  • Converter v para in/s:
    v = 350\\ \text{ft/min} = 350\cdot 12\\ \text{in/min} = 4200\\ \text{in/min} = \frac{4200}{60}\\ \text{in/s} = 70\\ \text{in/s}.
  • Calcular \delta = \sqrt{\dfrac{\alpha t}{v}}:
    \alpha t = 0{,}140\cdot 0{,}008 = 0{,}00112\\ \text{in}^3/\text{s}, \qquad \dfrac{\alpha t}{v} = \dfrac{0{,}00112}{70} = 0{,}000016 = 1{,}6\times 10^{-5}\\ \text{in}^2,
\delta = \sqrt{1{,}6\times 10^{-5}} = 0{,}004\\ \text{in}.

Passo 4

Calcular a elevação de temperatura \Delta T e a temperatura de corte final.
  • Usar a fórmula de Cook:
    \Delta T \;=\; \frac{F_c}{\rho c \, w \, \delta}.
  • Substituindo números (tudo em unidades dadas):
    \rho c\,w\,\delta = 110\cdot 0{,}100\cdot 0{,}004 = 110\cdot 0{,}0004 = 0{,}044.
\Delta T = \frac{200}{0{,}044} = 4545{,}4545\\ \!^\circ\mathrm{F}.
  • Temperatura de corte: T_{\text{corte}} = T_0 + \Delta T = 70 + 4545{,}4545 \approx 4615{,}45^\circ\mathrm{F}.

Passo 5

Interpretação rápida e incentivo (curtinha e direta):
  • O resultado é muito alto — isso indica que, sob a hipótese de que toda a energia de corte aquece apenas a camada estimada, a temperatura tende a valores extremamente elevados (possivelmente acima da resistência térmica do material). Na prática, parte do calor vai para o cavaco, para a ferramenta e para o corpo da peça em formas mais complexas, então modelos mais detalhados dão temperaturas menores. Mesmo assim, a ordem de grandeza (milhares de graus) mostra que corte gera muita energia térmica concentrada — por isso ferramentas e refrigeração são críticas.
  • Tá indo bem — você agora sabe usar a equação e interpretar o resultado!

Resposta

T_{\text{corte}} \approx 4615^\circ\mathrm{F}

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