15.23 Uma operação de corte ortogonal é executada em determinado metal cujo calor específico volumétrico
in
e difusividade térmica
in2/s. A velocidade de corte
, a espessura do cavaco indeformado =
e a largura de corte
. A força de corte é medida em 200 lbf . Utilizando a equação de Cook, determine a temperatura de corte, supondo que a temperatura ambiente
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
-
Dados (pegos do enunciado):
- calor específico volumétrico:
lbf·in / (in · F), isto é, unidades de energia por volume por grau; - difusividade térmica:
in /s; - velocidade de corte:
ft/min; - espessura do cavaco indeformado:
in; - largura de corte (largura do cavaco):
in; - força de corte:
lbf; - temperatura ambiente:
.
- calor específico volumétrico:
-
O que o enunciado pede:
- Determinar a temperatura de corte (ou seja, a temperatura no local onde o corte ocorre), usando a equação de Cook.
Passo 2
Explicar a equação de Cook e a idéia física por trás dela (passo-a-passo, sem pular etapas).
-
O raciocínio físico (ideia intuitiva):
- Quando a ferramenta corta, o trabalho mecânico realizado pela força de corte sobre uma distância é convertido em calor. Por unidade de comprimento cortado (isto é, quando a ferramenta avançar 1 in), a energia fornecida é igual a
(no sistema lbf·in; aqui usaremos o fato de que energia por unidade de comprimento é numericamente em lbf, porque força × distância 1 in = energia por comprimento). - Essa energia aquece uma camada do material próxima à superfície. A profundidade efetiva na qual o calor penetra enquanto o material está sob a ação do ponto de corte é chamada de profundidade de penetração térmica
. Uma estimativa razoável para vem da difusão térmica: em um tempo típico, a profundidade que o calor penetra é . - Qual é esse tempo
? Um elemento de material que está sendo cortado leva um tempo para atravessar a zona de geração de calor. Se a espessura do cavaco inicialmente é e a velocidade relativa é , esse tempo é aproximadamente . - Assim
.
- Quando a ferramenta corta, o trabalho mecânico realizado pela força de corte sobre uma distância é convertido em calor. Por unidade de comprimento cortado (isto é, quando a ferramenta avançar 1 in), a energia fornecida é igual a
-
Energia por unidade de comprimento disponível para aquecer o volume:
- Volume aquecido por unidade de comprimento (comprimento = 1 in ao longo da direção do corte) é
(unidade: in por in de comprimento). - Para elevar esse volume em
, a energia requerida (por unidade de comprimento) é , onde é a capacidade térmica volumétrica (energia por volume por grau). - Igualando a energia disponível por unidade de comprimento (que é
, como explicado) com a energia absorvida: - Daí:
- Volume aquecido por unidade de comprimento (comprimento = 1 in ao longo da direção do corte) é
-
Substituindo
obtém-se a forma prática da chamada equação de Cook usada aqui: - Nesta fórmula:
-
é a força de corte (lbf), -
é a capacidade térmica volumétrica (lbf·in/(in^3·°F)), -
é a largura do cavaco (in), -
é a velocidade de corte (in/s), -
é a difusividade térmica (in /s), -
é a espessura do cavaco indeformado (in).
-
- Observação sobre unidades: a escolha de unidades dadas faz com que tudo se cancele corretamente e
saia em . Bom!
- Nesta fórmula:
Passo 3
Converter as unidades e calcular a profundidade de penetração térmica
.
-
Converter
para in/s: -
Calcular
:
Passo 4
Calcular a elevação de temperatura
e a temperatura de corte final.
-
Usar a fórmula de Cook:
-
Substituindo números (tudo em unidades dadas):
- Temperatura de corte:
Passo 5
Interpretação rápida e incentivo (curtinha e direta):
- O resultado é muito alto — isso indica que, sob a hipótese de que toda a energia de corte aquece apenas a camada estimada, a temperatura tende a valores extremamente elevados (possivelmente acima da resistência térmica do material). Na prática, parte do calor vai para o cavaco, para a ferramenta e para o corpo da peça em formas mais complexas, então modelos mais detalhados dão temperaturas menores. Mesmo assim, a ordem de grandeza (milhares de graus) mostra que corte gera muita energia térmica concentrada — por isso ferramentas e refrigeração são críticas.
- Tá indo bem — você agora sabe usar a equação e interpretar o resultado!