Desenvolva expressões para o cálculo dos diâmetros de esferas equivalentes d_{p}, d_{s} e d_{A} para os seguintes sólidos de geometria simples:
Cone reto com diâmetro da base D e altura H .

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos, para um cone reto de diâmetro de base D e altura H, os três diâmetros de esfera que tornam essa esfera equivalente ao cone em:
• Volume d_{p},
• Área superficial total d_{s},
• Área de projeção ortogonal ao eixo d_{A}.
Para isso usaremos as fórmulas do volume e da área de superfície do cone e as igualaremos às fórmulas correspondentes da esfera.

Passo 2

Cálculo de d_{p} (diâmetro de esfera de mesmo volume).
O volume do cone é
V_{\text{cone}}=\frac{\pi D^{2}H}{12},
enquanto o volume de uma esfera de diâmetro d_{p} é
V_{\text{esfera}}=\frac{\pi\,d_{p}^{3}}{6}.
Igualando-os,
\frac{\pi\,d_{p}^{3}}{6}=\frac{\pi D^{2}H}{12} \quad\Longrightarrow\quad d_{p}^{3}=\frac{D^{2}H}{2} \quad\Longrightarrow\quad d_{p}=\Bigl(\tfrac{D^{2}H}{2}\Bigr)^{1/3}.

Passo 3

Cálculo de d_{s} (diâmetro de esfera de mesma área superficial total).
A área total do cone é a soma da base e da geratriz:
S_{\text{cone}} =\underbrace{\frac{\pi D^{2}}{4}}_{\text{base}} +\underbrace{\frac{\pi D\,L}{2}}_{\text{lateral}} \quad\text{com}\quad L=\sqrt{\bigl(\tfrac{D}{2}\bigr)^{2}+H^{2}}.
A área de uma esfera de diâmetro d_{s} vale
S_{\text{esfera}}=\pi\,d_{s}^{2}.
Igualando-as e isolando d_{s}:
\pi\,d_{s}^{2} =\frac{\pi D^{2}}{4}+\frac{\pi D}{2}\sqrt{\bigl(\tfrac{D}{2}\bigr)^{2}+H^{2}} \quad\Longrightarrow\quad d_{s} =\sqrt{\frac{1}{\pi}\Bigl(\frac{\pi D^{2}}{4}+\frac{\pi D}{2}\sqrt{\tfrac{D^{2}}{4}+H^{2}}\Bigr)} =\frac{1}{2}\sqrt{D^{2}+2D\sqrt{\tfrac{D^{2}}{4}+H^{2}}}\,.

Passo 4

Cálculo de d_{A} (diâmetro de esfera de mesma área de projeção ortogonal ao eixo do cone).
Para projeção ortogonal ao eixo, o cone “visto de cima” mostra exatamente a base, cuja área é
A_{\text{proj}}=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Definimos d_{A} de modo que
\frac{\pi\,d_{A}^{2}}{4}=A_{\text{proj}} \quad\Longrightarrow\quad d_{A}=D.

Resposta

d_{p}=\Bigl(\tfrac{D^{2}H}{2}\Bigr)^{1/3},\quad d_{s}=\tfrac{1}{2}\sqrt{D^{2}+2D\sqrt{\tfrac{D^{2}}{4}+H^{2}}},\quad d_{A}=D\,.

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