Desenvolva expressões para o cálculo dos diâmetros de esferas equivalentes d_{p}, d_{s} e d_{A} para os seguintes sólidos de geometria simples:
Tronco de cone reto com diâmetros das bases D_{1} (maior) e D_{2} (menor) e altura H.

Passo 1

O enunciado pede três diâmetros de esfera que representem o tronco de cone reto de diâmetros das bases D_{1} (maior) e D_{2} (menor) e altura H:
\,d_{p}, a esfera de mesmo volume;
\,d_{s}, a esfera de mesma área de superfície total;
\,d_{A}, a esfera de mesma área projetada (vista de lado, i.e.\ eixo do tronco perpendicular ao plano de projeção).

Passo 2

Primeiro calculamos o volume do tronco de cone. O volume de um tronco de cone é
V \;=\;\frac{\pi H}{12}\bigl(D_{1}^{2}+D_{1}D_{2}+D_{2}^{2}\bigr).
A esfera de diâmetro \,d_{p} tem volume
V_{\text{esf}}=\frac{\pi}{6}\,d_{p}^{3}.
Igualando V_{\text{esf}}=V e isolando d_{p}, obtemos
d_{p} =\Bigl(\frac{6V}{\pi}\Bigr)^{\!\tfrac13} =\Bigl(\frac{6}{\pi}\cdot\frac{\pi H}{12}(D_{1}^{2}+D_{1}D_{2}+D_{2}^{2})\Bigr)^{\!\tfrac13} =\Bigl(\frac{H}{2}(D_{1}^{2}+D_{1}D_{2}+D_{2}^{2})\Bigr)^{\!\tfrac13}.

Passo 3

Agora a área de superfície total do tronco de cone é a soma da área lateral e das duas bases.
A área lateral é
S_{\text{lat}} =\pi\frac{D_{1}+D_{2}}{2} \sqrt{H^{2}+\Bigl(\frac{D_{1}-D_{2}}{2}\Bigr)^{2}},
e a área das bases é
S_{\text{bases}} =\frac{\pi}{4}\bigl(D_{1}^{2}+D_{2}^{2}\bigr).
Logo
S = S_{\text{lat}} + S_{\text{bases}} =\pi\,\frac{D_{1}+D_{2}}{2}\sqrt{H^{2}+\Bigl(\tfrac{D_{1}-D_{2}}{2}\Bigr)^{2}} +\frac{\pi}{4}\bigl(D_{1}^{2}+D_{2}^{2}\bigr).
A esfera de diâmetro d_{s} tem superfície
S_{\text{esf}}=\pi\,d_{s}^{2}.
Igualando S_{\text{esf}}=S e isolando d_{s}, resulta
d_{s} =\sqrt{\frac{S}{\pi}} =\sqrt{\frac{1}{\pi}\Bigl[\pi\,\frac{D_{1}+D_{2}}{2}\sqrt{H^{2}+\bigl(\tfrac{D_{1}-D_{2}}{2}\bigr)^{2}} +\frac{\pi}{4}(D_{1}^{2}+D_{2}^{2})\Bigr]}
\quad =\sqrt{\frac{D_{1}+D_{2}}{2}\sqrt{H^{2}+\Bigl(\tfrac{D_{1}-D_{2}}{2}\Bigr)^{2}} +\frac{1}{4}\bigl(D_{1}^{2}+D_{2}^{2}\bigr)}.

Passo 4

Para a área projetada vista de lado, o tronco aparece como um trapézio de bases D_{1} e D_{2} e altura H, cuja área é
A_{\text{proj}} =\frac{H\,(D_{1}+D_{2})}{2}.
A esfera de diâmetro d_{A} tem área projetada de um círculo de diâmetro d_{A}, ou seja
A_{\text{esf}}=\frac{\pi}{4}\,d_{A}^{2}.
Igualando A_{\text{esf}}=A_{\text{proj}} e isolando d_{A}, obtemos
d_{A} =\sqrt{\frac{4A_{\text{proj}}}{\pi}} =\sqrt{\frac{4}{\pi}\cdot\frac{H\,(D_{1}+D_{2})}{2}} =\sqrt{\frac{2H\,(D_{1}+D_{2})}{\pi}}.

Resposta

\displaystyle d_{p} =\Bigl(\frac{H}{2}\bigl(D_{1}^{2}+D_{1}D_{2}+D_{2}^{2}\bigr)\Bigr)^{\!1/3}, \displaystyle d_{s} =\sqrt{\frac{D_{1}+D_{2}}{2}\sqrt{H^{2}+\bigl(\tfrac{D_{1}-D_{2}}{2}\bigr)^{2}} +\frac{1}{4}(D_{1}^{2}+D_{2}^{2})}, \displaystyle d_{A} =\sqrt{\frac{2H\,(D_{1}+D_{2})}{\pi}}.

Exercícios de Livros Relacionados