É a seguinte a análise granulométrica em peneira de uma galena moida em moinho de bolas:
Malha de peneira Tyler & Fração ponderal
-28+35 & 0,150
-35+48 & 0,200
-48+65 & 0,171
-65+100 & 0,134
-100+150 & 0,104
+150+200 & 0,080
-200 & 0,161
(a) Organizar esta informação num histograma, num gráfico de fração ponderal acumulada de tamanhos maiores que um certo tamanho em função do tamanho, num gráfico de fraçōes relativas em escala logaritmica e num gráfico em papel de coordenadas de probabilidade normal.
(b) Completar a análise das peneiras determinando a distribuição granulométrica na fração de -200.
(c) Determinar o diâmetro médio das partículas com base:
  1. No comprimento.
  2. Na massa.
  3. Na área por volume unitário.
    (d) Determinar a área superficial total de uma amostra de 100 g do minério moido.
    (e) Determinar a esfericidade de uma das fraçōes mencionadas acima.
    (f) Qual seria o peso líquido de minério, da fração -65+100, que encheria um vaso de 300 cm^{3} ?

Passo 1

O enunciado fornece uma análise granulométrica por peneiras Tyler de uma galena moída em moinho de bolas, com as frações ponderais em cada classe de malha. Precisamos
– Organizar os dados em histograma e em três tipos de gráficos de distribuição (acumulada de tamanhos maiores, log-log de frações relativas, papel normal-probabilidade).
– Completar a distribuição na fração “– 200” (isto é, abaixo da malha 200).
– Calcular o diâmetro médio de partícula com ponderação por comprimento, por massa e por área/volume.
– Determinar a área superficial total de 100 g de amostra.
– Calcular a esfericidade de uma das frações.
– Estimar o peso de minério da fração – 65+100 que enche 300 c m^{3}.
Conteúdo: análise de distribuição de tamanhos de partículas, histogramas, gráficos acumulados, momentos de diâmetro, área superficial e conceitos de densidade e esfericidade.

Passo 2

Determinar as aberturas aproximadas (em milímetros) das peneiras Tyler e calcular o ponto médio de cada classe:
\begin{array}{lcc} \hline \text{Malha (mesh)} & \text{Abertura (mm)} & \text{Ponto médio }d_i\\ (\mathrm{mm})\\\ \hline 28 & 0{,}710\\\\ 35 & 0{,}500\\\\ 48 & 0{,}355\\\\ 65 & 0{,}250\\\\ 100 & 0{,}150\\\\ 150 & 0{,}105\\\\ 200 & 0{,}074\\\ \hline \end{array}
Classes e fração ponderal w_i:
\begin{array}{lccc} \hline \text{Classe} & \text{Intervalo (mm)} & d_i & w_i\\\ \hline -28+35 & 0{,}710\text{–}0{,}500 & 0{,}605 & 0{,}150\\\\ -35+48 & 0{,}500\text{–}0{,}355 & 0{,}4275 & 0{,}200\\\\ -48+65 & 0{,}355\text{–}0{,}250 & 0{,}3025 & 0{,}171\\\\ -65+100 & 0{,}250\text{–}0{,}150 & 0{,}2000 & 0{,}134\\\\ -100+150 & 0{,}150\text{–}0{,}105 & 0{,}1275 & 0{,}104\\\\ +150+200 & 0{,}105\text{–}0{,}074 & 0{,}0895 & 0{,}080\\\\ -200 & <0{,}074 & 0{,}0370 & 0{,}161\\\ \hline \sum w_i=1{,}000 \end{array}

Passo 3

Calcular a fração acumulada de partículas maiores que d_i (isto é, \sum_{j<i}w_j) e a acumulada de menores ou iguais ( \sum_{j\ge i}w_j). Por exemplo:
F_{>\,0{,}605} =0,\quad F_{>\,0{,}4275}=0{,}150,\;\dots,\;F_{>\,0{,}037}=0{,}839.
E
F_{\le\,d_i}=1-F_{>\,d_i}.
Monte uma tabela com colunas \bigl(d_i,w_i,F_{>\,d_i},F_{\le\,d_i}\bigr).

Passo 4

(a) Para cada gráfico:
1. Histograma: eixo x = centros d_i, eixo y = w_i. Barras de largura proporcional ao intervalo de cada classe.
2. Fração acum. de tamanhos maiores: eixo x = d_i (escala linear ou logarítmica), eixo y = F_{>\,d_i}. Ligar pontos para formar curva decrescente.
3. Frações relativas em escala log-log: eixo x = \ln d_i, eixo y = \ln w_i. Pontos plotados; reta aproximada dá lei de potência.
4. Papel de probabilidade normal: abscissa = \ln d_i, ordenada = probit (F_{\le\,d_i}) (valor z tal que \Phi(z)=F_{\le\,d_i}). Pontos alinhados se distribuição log-normal.

Passo 5

(b) A “fração de – 200” corresponde a todas partículas menores que 0,074 mm. Sem subdivisões adicionais, sua distribuição interna não pode ser determinada com os dados fornecidos (precisaríamos de peneiramento mais fino).

Passo 6

(c) Usar definições de diâmetros-momento, onde D_{mn}=\dfrac{\sum w_i d_i^m}{\sum w_i d_i^n}. Com \sum w_i=1:
1. Diâmetro médio por comprimento ( D_{10}):
D_{10}=\sum_i w_i d_i \approx0{,}281\\ \mathrm{mm}.
2. Diâmetro médio por massa (momento 4 3, já que w_i são frações de massa \approx volume):
D_{43}=\frac{\sum_i w_i d_i^4}{\sum_i w_i d_i^3}\approx0{,}518\\ \mathrm{mm}.
3. Diâmetro médio por área/volume (momento 3 2, relação área/volume):
D_{32}=\frac{\sum_i w_i d_i^3}{\sum_i w_i d_i^2}\approx0{,}478\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

(d) Admitindo partículas esféricas de densidade \rho (não fornecida; vou usar 1 g/c m^{3} para exemplificar):
– Razão área/volume
\frac{S}{V}=\frac{6}{D_{32}}\approx\frac{6}{0{,}000478\\ \mathrm{m}}=1,256\times10^{4}\\ \mathrm{m}^{-1}.
– Volume de 100 g: V=100\\ \mathrm{cm}^3=1\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
– Área total
S=\frac{S}{V}\,V\approx1,256\times10^{4}\times1\times10^{-4}=1,256\\ \mathrm{m}^2.

Passo 8

(e) A esfericidade \varphi de partículas reais mede quão próximo da esfera elas são. Para esferas perfeitas, \varphi=1. Sem dados sobre formas reais, assume-se \varphi\approx1 ou requer imagiologia/medidas de A e V para calcular
\varphi=\frac{\pi^{1/3}(6V)^{2/3}}{A}.

Passo 9

(f) O peso líquido da fração – 65+100 que ocupa 300 c m^{3} exige a densidade aparente (bulk) dessa fração. Sem o valor de densidade aparente não é possível calcular o peso correspondente.

Resposta

(a) Monte a tabela \{d_i,w_i,F_{>\,d_i},F_{\le\,d_i}\} e faça: histograma de w_i vs. d_i, curva F_{>\,d} vs. d, gráfico \ln w_i vs. \ln d_i, e probit (F_{\le\,d_i}) vs. \ln d_i.
(b) Não determinável sem peneiramento adicional.
(c 1) D_{10}\approx0{,}281\\ \mathrm{mm}.
(c 2) D_{43}\approx0{,}518\\ \mathrm{mm}.
(c 3) D_{32}\approx0{,}478\\ \mathrm{mm}.
(d) Para \rho=1\\ \mathrm{g/cm}^3, S\approx1{,}256\\ \mathrm{m}^2 em 100 g.
(e) Sem dados de forma, toma-se \varphi\approx1.
(f) Impossível sem densidade aparente da fração.

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