Num tubo de ferro, com 12 in de diâmetro interno, está o ar em escoamento. O tubo descarrega num outro tubo de ferro, com 3 in de diâmetro interno. Num ponto determinado do tubo maior, a pressão é de 15 psig , a temperatura é 80^{\circ} \mathrm{F} e a velocidade do ar é 5,0 \mathrm{ft} / \mathrm{s}. Num ponto do tubo menor, a pressão é 5 psig e a temperatura 80^{\circ} \mathrm{F}. Este ponto do tubo de 3 in está 100 ft acima do ponto no tubo de 12 in . Admitindo que o comportamento do gás seja ideal, calcular a perda de energia devida ao atrito atuante entre os dois pontos.

Passo 1

O enunciado trata de ar escoando de um tubo de 12 in de diâmetro internamente até um tubo de 3 in, com mudança de pressão, temperatura constante ( 80^\circF) e desnível de 100 ft. O conteúdo que vamos usar é a equação de Bernoulli para gás ideal (compressível), mais a equação de estado p=\rho R T e a conservação de massa (continuidade).

Passo 2

Determine as densidades nos dois pontos pelo gás ideal. Em unidades inglesas:
T = 80^\circ\mathrm{F} = 80 + 459{,}67 = 539{,}67\;\mathrm{^\circ R}, \quad R_{\text{ar}} = 1716\;\frac{\text{ft\cdotlbf}}{\text{slug\cdot^\circ R}}.
Pressões absolutas:
p_1 = (15 + 14{,}7)\;\mathrm{psia} = 29{,}7\;\mathrm{psi},\quad p_2 = (5 + 14{,}7)\;\mathrm{psia} = 19{,}7\;\mathrm{psi}.
Em ft–slug–s:
\rho = \frac{p\,[\mathrm{psi}]\times144}{R\,T}\quad\Rightarrow\quad \rho_1=\frac{29{,}7\cdot144}{1716\cdot539{,}67}\approx0{,}00462\;\frac{\text{slug}}{\text{ft}^3},
\rho_2=\frac{19{,}7\cdot144}{1716\cdot539{,}67}\approx0{,}00306\;\frac{\text{slug}}{\text{ft}^3}.

Passo 3

Aplique a conservação de massa \dot m=\rho A v.
Áreas internas:
D_1=12\text{ in}=1\text{ ft}\quad\Rightarrow\quad A_1=\frac\pi4(1)^2=\pi/4\;\text{ft}^2,
D_2=3\text{ in}=0{,}25\text{ ft}\quad\Rightarrow\quad A_2=\frac\pi4(0{,}25)^2=\pi\cdot0{,}015625\;\text{ft}^2.
Como v_1=5{,}0 ft/s,
\dot m=\rho_1 A_1 v_1 =0{,}00462\cdot\frac\pi4\cdot5 \approx0{,}01814\;\text{slug/s}.
Então
v_2=\frac{\dot m}{\rho_2\,A_2} =\frac{0{,}01814}{0{,}00306\;\times\pi\cdot0{,}015625} \approx120{,}6\;\mathrm{ft/s}.

Passo 4

Escreva Bernoulli incluindo a perda de carga h_L:
\frac{p_1}{\rho_1 g}+\frac{v_1^2}{2g}+z_1 = \frac{p_2}{\rho_2 g}+\frac{v_2^2}{2g}+z_2 + h_L.
Como a temperatura é a mesma, nota-se que
\displaystyle\frac{p_1}{\rho_1 g}=\frac{R T}{g}=\frac{p_2}{\rho_2 g},
então esses termos se cancelam. Com z_2 - z_1 = +100 ft,
h_L =\Bigl[\frac{v_2^2}{2g}+z_2\Bigr] -\Bigl[\frac{v_1^2}{2g}+z_1\Bigr] =\frac{v_2^2 - v_1^2}{2g} + (z_2 - z_1).

Passo 5

Calcule os termos cinéticos:
\frac{v_1^2}{2g}=\frac{5^2}{2\cdot32{,}2}\approx0{,}388\;\mathrm{ft}, \quad \frac{v_2^2}{2g}=\frac{120{,}6^2}{2\cdot32{,}2}\approx226{,}0\;\mathrm{ft}.
Logo
h_L =226{,}0 - 0{,}388 + 100 \approx325{,}6\;\mathrm{ft}.

Resposta

A perda de energia (perda de carga) entre os dois pontos é
h_L\approx326\;\text{ft}.

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