Uma unidade de transferência, como um estágio de equilibrio, representa um modelo físico de transferéncia de massa? Sob quais circunstâncias uma unidade de transferência dará a mesma modificação de composição que um estágio de equilíbrio?

Passo 1

O enunciado pergunta sobre dois modelos ideais de separação em transferência de massa: a unidade de transferência (UT), que é um “elemento diferencial” de resistência ao transporte de massa, e o estágio de equilíbrio, que é um “evento” onde as duas fases saem em equilíbrio de composição. Vamos ver em que sentido cada um é um modelo matemático (e não necessariamente físico) e identificar quando uma UT pode reproduzir exatamente a variação de composição prevista por um estágio de equilíbrio.

Passo 2

Definindo a unidade de transferência: ela parte da ideia de que a taxa de transferência de soluto entre fases é proporcional à diferença de composição entre a fase em contato e a composição de equilíbrio. Para uma fase líquida, por exemplo, escrevemos
d\mathrm{NTU} \;=\;\frac{d x}{x^{*}-x}
onde x é a fração molar no líquido em um ponto e x^{*} é a fração molar na fase vapor em equilíbrio com esse x. A UT é, portanto, um modelo diferencial: não há “caixa física” única, mas a coluna (ou absorvedor, extrator etc.) é vista como várias UTs em série. A performance global se obtém integrando essas pequenas variações.

Passo 3

Definindo o estágio de equilíbrio: é um modelo estático e discreto em que se supõe que, num “prato teórico” ou num “plato”, o líquido e o vapor vêm a equilíbrio termodinâmico antes de se separar. Numa única etapa, as composições de saída satisfazem a relação de equilíbrio y=y^{*}(x). Não há modelagem explícita de resistências de filme ou difusão — assume-se que tudo ocorre de modo instantâneo e completo.

Passo 4

Para que UMA ÚNICA UT gere a MESMA variação de composição que UM estágio de equilíbrio, é preciso que toda a resistência ao transporte de massa seja concentrada exatamente naquelas condições de equilíbrio local, ou seja:
1. As constantes de transferência de massa são infinitamente altas (resistências internas nulas).
2. Toda a UT opera em regime isotermo e com fluxo molar constante, de modo que x^{*} e x variam pouco dentro da UT.
3. A relação de equilíbrio é linear ou quase linear no intervalo de composição considerado, garantindo que
\int_{x_\text{in}}^{x_\text{out}}\frac{d x}{x^{*}(x)-x}=1.
Nessas circunstâncias (coeficientes de transferência muito grandes e equilíbrio local imediato), a integral acima vale exatamente 1, e a alteração de composição numa UT é idêntica àquela de um estágio teórico.

Passo 5

Em outras palavras, a equivalência perfeita acontece apenas no limite ideal em que o estágio de equilíbrio é “tecnicamente infinitesimal” em termos de resistências de massa — isto é, quando chamamos de eficiência de prato \eta=1. Nesse caso, podemos dizer que “um UT = um estágio teórico” e ambos fornecem a mesma modificação de composição.

Resposta

A unidade de transferência é um modelo matemático diferencial de resistência ao transporte de massa e não um elemento físico discreto. Ela dará exatamente a mesma modificação de composição que um estágio de equilíbrio somente no caso ideal em que as resistências internas sejam nulas (coeficientes de transferência infinitos), sob condições de fluxo e temperatura constantes e com equilíbrio local imediato, de modo que a integral de \int d x/(x^*-x) sobre a UT seja igual a 1, isto é, quando o estágio tiver eficiência 100 %.

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