(Operações vetoriais e suas identidades) Verifique a validade das identidades vetoriais a seguir. Utilize notação indicial para realizar todos os cálculos e considere que
é um número real.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pedem para verificar a identidade
- Informação útil:
e são vetores cujas componentes são números reais. Vou escrever as componentes como e , (índices no espaço euclidiano usual). - Nenhuma outra informação é necessária; a identidade envolve apenas o produto escalar entre dois vetores.
Passo 2
Apresentando a notação indicial (convenção de Einstein) e definindo o produto escalar em componentes.
- Regra chave da notação indicial: um índice repetido (um em cima e outro embaixo, ou simplesmente repetido em contextos puramente euclidianos) significa somatória sobre as componentes. Aqui usaremos a forma simples: quando um índice aparece duas vezes numa expressão, somamos por esse índice de
a . - O produto escalar em componentes é definido por
onde o termo à direita representa a soma
.
- Analogamente,
Passo 3
Usando a propriedade comutativa da multiplicação de escalares e a liberdade de renomear índices dummies.
- Cada componente
e é um número real, e a multiplicação de números reais é comutativa. Logo, para cada vale . - Além disso, indices repetidos são dummies: podemos renomear o índice somado sem alterar o valor. Por exemplo,
(troca do rótulo por ). - Portanto, comparando os dois produtos escalares escritos em notação indicial,
Como
termo a termo, a diferença é zero:
Passo 4
Exemplo numérico curto para ver concretamente.
- Tome
e . Então
logo
- Esse exemplo ilustra que os dois termos são iguais componente a componente, resultando em zero quando subtraídos.
Passo 5
Observações finais e dica para a prova.
- A origem da igualdade é simples: o produto escalar é comutativo porque é uma soma de produtos de números reais, e a multiplicação de escalares é comutativa.
- Em notação indicial essa verificação fica compacta e formal: basta escrever
e usar . - Dica prática: em verificação de identidades indicias, procure sempre identificar índices dummies e usar renomeação quando for comparar somas.