(Operações vetoriais e suas identidades) Verifique a validade das identidades vetoriais a seguir. Utilize notação indicial para realizar todos os cálculos e considere que a é um número real.
\vec{A} cdot \vec{B}-\vec{B} cdot \vec{A}=0

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pedem para verificar a identidade
\vec{A}\cdot\vec{B}-\vec{B}\cdot\vec{A}=0.
  • Informação útil: \vec{A} e \vec{B} são vetores cujas componentes são números reais. Vou escrever as componentes como \,A_i e , B_i (índices i=1,2,3 no espaço euclidiano usual).
  • Nenhuma outra informação é necessária; a identidade envolve apenas o produto escalar entre dois vetores.

Passo 2

Apresentando a notação indicial (convenção de Einstein) e definindo o produto escalar em componentes.
  • Regra chave da notação indicial: um índice repetido (um em cima e outro embaixo, ou simplesmente repetido em contextos puramente euclidianos) significa somatória sobre as componentes. Aqui usaremos a forma simples: quando um índice aparece duas vezes numa expressão, somamos por esse índice de 1 a 3.
  • O produto escalar em componentes é definido por
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_i B_i,
onde o termo à direita representa a soma A_1B_1+A_2B_2+A_3B_3.
  • Analogamente,
\vec{B}\cdot\vec{A}=B_i A_i.

Passo 3

Usando a propriedade comutativa da multiplicação de escalares e a liberdade de renomear índices dummies.
  • Cada componente A_i e B_i é um número real, e a multiplicação de números reais é comutativa. Logo, para cada i vale A_i B_i = B_i A_i.
  • Além disso, indices repetidos são dummies: podemos renomear o índice somado sem alterar o valor. Por exemplo, B_i A_i = B_j A_j (troca do rótulo i por j).
  • Portanto, comparando os dois produtos escalares escritos em notação indicial,
\vec{A}\cdot\vec{B}-\vec{B}\cdot\vec{A}=A_i B_i - B_i A_i.
Como A_i B_i = B_i A_i termo a termo, a diferença é zero:
A_i B_i - B_i A_i = 0.

Passo 4

Exemplo numérico curto para ver concretamente.
  • Tome \vec{A}=(1,2,3) e \vec{B}=(4,5,6). Então
\vec{A}\cdot\vec{B}=1\cdot4+2\cdot5+3\cdot6=4+10+18=32,
\vec{B}\cdot\vec{A}=4\cdot1+5\cdot2+6\cdot3=4+10+18=32,
logo
\vec{A}\cdot\vec{B}-\vec{B}\cdot\vec{A}=32-32=0.
  • Esse exemplo ilustra que os dois termos são iguais componente a componente, resultando em zero quando subtraídos.

Passo 5

Observações finais e dica para a prova.
  • A origem da igualdade é simples: o produto escalar é comutativo porque é uma soma de produtos de números reais, e a multiplicação de escalares é comutativa.
  • Em notação indicial essa verificação fica compacta e formal: basta escrever A_i B_i - B_i A_i e usar A_i B_i=B_i A_i.
  • Dica prática: em verificação de identidades indicias, procure sempre identificar índices dummies e usar renomeação quando for comparar somas.

Resposta

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