Um operador introduz uma perturbação degrau, às 3 h 05 min, na vazão qi em uma corrente de processo, a qual passou de 500 a 540 gal / min. A primeira mudança da temperatura de processo (inicialmente a 120^circ F ) foi observada às 3h09 min. Após isso, a resposta em T foi rápida, reduzindo a sua variação até aparentemente atingir um valor estacionário de 124,7^circ F. O operador anotou em seu relatório que não ocorreu qualquer alteração após às 3 h 34 min.
Apresente o diagrama de blocos de uma malha feedback para este processo apresentando todas as entradas e saídas de todos os itens pertencente a malha fechada. Apresente a função transferência de malha fechada.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um operador applicou um degrau na vazão qi de 500 para 540 gal/min às 3h05 e, a partir das 3h09, a temperatura (que estava em 120 °F) começou a subir até estabilizar em 124,7 °F lá pelas 3h34. A matéria é modelagem de processos e malhas de controle em feedback. Para resolver a gente vai:
  • Extrair os parâmetros do modelo (ganho estático, tempo morto e constante de tempo).
  • Montar o diagrama de blocos de uma malha fechada (com controlador, planta e sensor).
  • Escrever a função de transferência de malha fechada.

Passo 2

Primeiro a gente calcula o ganho estático do processo, que é a razão entre a variação final da saída (temperatura) e a variação do degrau na entrada (vazão).
Kp = De
Teoria usada: ganho estático é quanto a saída muda em regime permanente para uma dada mudança na entrada.

Passo 3

Agora o tempo morto theta = 4 min , que é o atraso até a primeira resposta. Foi de 3h05 a 3h09, ou seja:
Teoria: tempo morto é o intervalo entre a aplicação do degrau e o instante em que a saída começa a variar.

Passo 4

Em seguida, a constante de tempo 4tau approx 25 min Longrightarrow tau approx 254 = 6,25 min . A gente sabe que um sistema de primeira ordem leva cerca de para chegar perto do novo regime (≈98%). Como a resposta foi detectada em 3h09 e estabilizou em 3h34, esse intervalo é de 25 min, logo:
Teoria: constante de tempo é o tempo em que a resposta alcança ~63,2% da mudança total.

Passo 5

Com isso, modelamos a planta (o processo) como primeira ordem com atraso:
Gp(s) = Kptau s + 1 e^-theta s = 0,11756,25,s + 1 e^-4s

Passo 6

Vamos ao diagrama de blocos de malha fechada. Ele é assim:
R(s) ──(+)──► [ G_c(s) ] ──► u(s) ──(+)──► [ G_p(s) ]──► y(s)
▲ │
│ └─── D(s) (perturbação qi)

└────────[ H(s) ]◄─────────
Onde:
  • R(s) é a referência (temperatura desejada).
  • G_c(s) é o controlador.
  • u(s) é o sinal de controle (íntegro do controlador).
  • D(s)=Δqi(s) é a perturbação de vazão somada antes da planta.
  • G_p(s) é a planta que modelamos acima.
  • y(s) = T(s) é a saída (temperatura).
  • H(s) é o sensor (normalmente =1, se for perfeito).
Teoria: o bloco de soma (+) antes de G_p soma a ação de controle u(s) e a perturbação D(s). O bloco de soma junto ao controlador subtrai o feedback H(s)·y(s) de R(s).

Passo 7

A função de transferência de malha fechada (da referência R(s) para a saída Y(s)) é:
T(s) = Y(s)R(s) = Gc(s),Gp(s)1 + Gc(s),Gp(s),H(s)
E, se você quiser ver também como a perturbação D(s) afeta a saída:
Td(s) = Y(s)D(s) = Gp(s)1 + Gc(s),Gp(s),H(s)

Resposta

Diagrama de blocos:
R(s) ──(+)──► [ G_c(s) ] ──► u(s) ──(+)──► [ G_p(s)=\tfrac{0,1175}{6,25s+1}e^{-4s} ]──► y(s)
│ ▲
│ └─── D(s)=Δq_i(s)

└────────[ H(s) ]◄──────────────────
Função de transferência de malha fechada:
boxed T(s) = Y(s)R(s) = Gc(s),l(tfrac0,11756,25s+1e^-4sr)1 + Gc(s),l(tfrac0,11756,25s+1e^-4sr),H(s)

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