Um operador introduz uma perturbação degrau, às 3 h 05 min, na vazão qi em uma corrente de processo, a qual passou de 500 a 540 gal / min. A primeira mudança da temperatura de processo (inicialmente a 120^circ F ) foi observada às 3h09 min. Após isso, a resposta em T foi rápida, reduzindo a sua variação até aparentemente atingir um valor estacionário de 124,7^circ F. O operador anotou em seu relatório que não ocorreu qualquer alteração após às 3 h 34 min.
a) Qual função de transferência poderia ser usada para relacionar a temperatura com a vazão da corrente desse processo, na ausência de informações mais precisas? Apresente em forma de gráfico a resposta da temperatura ao longo do tempo.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente fez um degrau na vazão qi às 3h05 (de 500 pra 540 gal/min) e viu a temperatura, que tava em 120 °F, começar a mudar só às 3h09 e estabilizar em 124,7 °F lá por 3h34.
Conteúdo: modelagem de processo usando função de transferência de primeira ordem com atraso morta (FOPDT).
O que vamos precisar:
  • Calcular o ganho estático K (variação de saída sobre variação de entrada).
  • Determinar o tempo de atraso theta (dead time).
  • Estimar a constante de tempo tau (time constant).
  • Montar a função de transferência e desenhar a resposta ao degrau.

Passo 2

Primeiro, o ganho estático K.
  • A variação de vazão é Δq = 540 − 500 = 40 gal/min.
  • A variação final da temperatura é ΔT = 124,7 − 120 = 4,7 °F.
    Logo
K ;=;ΔTΔq;=;4,740;approx;0,1175;°Frm gal/min

Passo 3

Agora o atraso morto, que é o intervalo entre o degrau (3h05) e a primeira reação (3h09).
3h09 – 3h05 = 4 min.
Então theta = 4;min

Passo 4

Pra achar a constante de tempo tau, a gente lembra que um sistema de 1ª ordem chega em cerca de 95% do valor final em aproximadamente 3tau.
Aqui, depois de 3h09 (início da subida) até 3h34 (quando praticamente não muda mais) são 25 min.
Logo
3tau approx 25;Rightarrow;tau approx 253approx 8,3;min

Passo 5

Então nossa função de transferência padrão com atraso fica
$$G(s);=;\frac{T(s)}{Q_i(s)} ;=; \frac{K,e^{-\theta s}}{\tau,s+1}
;=;\frac{0{,}1175;e^{-4s}}{8{,}3,s +1}.$$

Passo 6

Pra desenhar a resposta ao degrau de Δq=40, lembramos que no tempo real (contando t=0 em 3h05):
  • Para t<4 min, T(t)=120,°F.
  • Para t>=4 min, T(t)=120 + 4,7l(1 - e^-t-48,3r);°F
Gráfico qualitativo (tempo em minutos, temperatura em °F):
  Temperatura (°F)
125 ┤                             ••••••••••••  
124 ┤                        ••••             
123 ┤                     ••                 
122 ┤                 ••                    
121 ┤             ••                        
120 ┼•••••••••••••--------------------------- 
    0    4    10    20    30   tempo (min)
  • Até 4 min, a curva fica em 120°F.
  • Aí começa a subir exponencialmente e vai se aproximar de 124,7°F lá por 30 min.

Resposta

Função de transferência sugerida:
boxedG(s)=0,1175;e^-4s8,3,s +1
Resposta ao degrau de 40 gal/min (de 500 pra 540): curva com atraso de 4 min e constante de tempo 8,3 min, subindo de 120 °F até 124,7 °F.

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