Um operador introduz uma perturbação degrau, às
, na vazão qi em uma corrente de processo, a qual passou de 500 a
. A primeira mudança da temperatura de processo (inicialmente a
) foi observada às 3h09 min. Após isso, a resposta em T foi rápida, reduzindo a sua variação até aparentemente atingir um valor estacionário de
. O operador anotou em seu relatório que não ocorreu qualquer alteração após às 3 h 34 min.
a) Qual função de transferência poderia ser usada para relacionar a temperatura com a vazão da corrente desse processo, na ausência de informações mais precisas? Apresente em forma de gráfico a resposta da temperatura ao longo do tempo.
a) Qual função de transferência poderia ser usada para relacionar a temperatura com a vazão da corrente desse processo, na ausência de informações mais precisas? Apresente em forma de gráfico a resposta da temperatura ao longo do tempo.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente fez um degrau na vazão qi às 3h05 (de 500 pra 540 gal/min) e viu a temperatura, que tava em 120 °F, começar a mudar só às 3h09 e estabilizar em 124,7 °F lá por 3h34.
Conteúdo: modelagem de processo usando função de transferência de primeira ordem com atraso morta (FOPDT).
O que vamos precisar:
Conteúdo: modelagem de processo usando função de transferência de primeira ordem com atraso morta (FOPDT).
O que vamos precisar:
- Calcular o ganho estático
(variação de saída sobre variação de entrada). - Determinar o tempo de atraso
(dead time). - Estimar a constante de tempo
(time constant). - Montar a função de transferência e desenhar a resposta ao degrau.
Passo 2
Primeiro, o ganho estático
.
- A variação de vazão é Δq = 540 − 500 = 40 gal/min.
- A variação final da temperatura é ΔT = 124,7 − 120 = 4,7 °F.
Logo
Passo 3
Agora o atraso morto, que é o intervalo entre o degrau (3h05) e a primeira reação (3h09).
3h09 – 3h05 = 4 min.
Então
3h09 – 3h05 = 4 min.
Então
Passo 4
Pra achar a constante de tempo
, a gente lembra que um sistema de 1ª ordem chega em cerca de 95% do valor final em aproximadamente
.
Aqui, depois de 3h09 (início da subida) até 3h34 (quando praticamente não muda mais) são 25 min.
Logo
Aqui, depois de 3h09 (início da subida) até 3h34 (quando praticamente não muda mais) são 25 min.
Logo
Passo 5
Então nossa função de transferência padrão com atraso fica
$$G(s);=;\frac{T(s)}{Q_i(s)} ;=; \frac{K,e^{-\theta s}}{\tau,s+1}
;=;\frac{0{,}1175;e^{-4s}}{8{,}3,s +1}.$$
Passo 6
Pra desenhar a resposta ao degrau de Δq=40, lembramos que no tempo real (contando t=0 em 3h05):
- Para
min, °F. - Para
min,
Gráfico qualitativo (tempo em minutos, temperatura em °F):
Temperatura (°F)
125 ┤ ••••••••••••
124 ┤ ••••
123 ┤ ••
122 ┤ ••
121 ┤ ••
120 ┼•••••••••••••---------------------------
0 4 10 20 30 tempo (min)
- Até 4 min, a curva fica em 120°F.
- Aí começa a subir exponencialmente e vai se aproximar de 124,7°F lá por 30 min.
Resposta
Função de transferência sugerida:
Resposta ao degrau de 40 gal/min (de 500 pra 540): curva com atraso de 4 min e constante de tempo 8,3 min, subindo de 120 °F até 124,7 °F.