Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações dadas e condições importantes que vêm do enunciado:
- A incógnita é
. - Há um logaritmo natural
, logo a equação só faz sentido para . - A tarefa é encontrar todos os valores de
que satisfazem a equação.
Passo 2
Transformar o problema em algo que facilite a análise: definir a função
Resolver a equação é achar as raízes de
, isto é, valores de
tais que
.
Primeiro, analisar comportamento e monotonicidade (isso ajuda a saber quantas raízes esperar):
- Derivada:
- Zeros da derivada:
quando , isto é, quando
- Sinal de
: - Para
, tem-se (função decrescente). - Para
, tem-se (função crescente).
Logotem um único mínimo em .
- Para
Avaliar limites para entender comportamento nas extremidades:
- Quando
, então e portanto . - Quando
, o termo domina e .
Como
em ambas as extremidades e tem um único mínimo intermedio, se esse mínimo for negativo então haverá exatamente duas raízes positivas. Calcular o valor mínimo:
Como
, segue
. Portanto há duas raízes distintas em
.
Passo 3
Para obter as raízes explicitamente, rearranjamos a equação procurando uma forma que permita uso da função de Lambert
. Começamos por isolar o logaritmo e exponenciar:
Aplicando exponencial:
Multiplicar ambos os lados por
:
Agora fazemos a substituição
. Então
e a equação vira
Por definição da função de Lambert
, as soluções
são as soluções de
para
. Portanto as soluções para
são
Observação sobre ramos: para
(e aqui
pertence a esse intervalo porque
e
), existem duas soluções reais para
:
(ramo principal, com
) e
(ramo inferior, com
). Isso explica as duas raízes positivas que já previmos pela análise de
.
Então as duas soluções exatas (em termos de
) são
Passo 4
Agora vamos obter aproximações numéricas (úteis para a prova) para cada ramo. Primeiro calculamos o argumento
Encontrar
é resolver
. Usaremos o método de Newton (fácil de aplicar à mão algumas iterações) com a fórmula de iteração
Cálculo para o ramo principal
(nesse ramo
está entre
e
):
- Escolha inicial
. - Iteração 1:
. - Iteração 2:
.
Converge rapidamente para
Então
Verificação rápida (plugando na equação):
(aproximação bem próxima de
).
Passo 5
Cálculo para o ramo
(aqui
):
- Escolha inicial
. - Iteração 1:
. - Iteração 2:
.
Converge para
Então
Verificação rápida:
(novamente consistente).
Passo 6
Resumo e interpretação final (de forma motivadora): a equação transcendental tem duas soluções positivas porque a função associada tem um único mínimo negativo; podemos expressar as soluções em termos da função de Lambert
e obter aproximações numéricas com Newton em poucas iterações. Isso é um padrão útil: quando aparece
e
misturados, exponenciar e buscar a forma
é a chave para usar
.