5 x-8 \ln x=8

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
5x-8\ln x=8.
Informações dadas e condições importantes que vêm do enunciado:
  • A incógnita é x.
  • Há um logaritmo natural \ln x, logo a equação só faz sentido para x>0.
  • A tarefa é encontrar todos os valores de x>0 que satisfazem a equação.

Passo 2

Transformar o problema em algo que facilite a análise: definir a função
f(x)=5x-8\ln x-8.
Resolver a equação é achar as raízes de f, isto é, valores de x>0 tais que f(x)=0.
Primeiro, analisar comportamento e monotonicidade (isso ajuda a saber quantas raízes esperar):
  • Derivada:
f'(x)=5-\frac{8}{x}.
  • Zeros da derivada: f'(x)=0 quando 5-\dfrac{8}{x}=0, isto é, quando
x=\frac{8}{5}=1{,}6.
  • Sinal de f':
    • Para 0<x<1{,}6, tem-se f'(x)<0 (função decrescente).
    • Para x>1{,}6, tem-se f'(x)>0 (função crescente).
      Logo f tem um único mínimo em x=1{,}6.
Avaliar limites para entender comportamento nas extremidades:
  • Quando x\to0^+, \ln x\to-\infty então -8\ln x\to+\infty e portanto f(x)\to+\infty.
  • Quando x\to+\infty, o termo 5x domina e f(x)\to+\infty.
Como f\to+\infty em ambas as extremidades e tem um único mínimo intermedio, se esse mínimo for negativo então haverá exatamente duas raízes positivas. Calcular o valor mínimo:
f\bigl(1{,}6\bigr)=5\cdot1{,}6-8\ln(1{,}6)-8=8-8\ln(1{,}6)-8=-8\ln(1{,}6).
Como \ln(1{,}6)>0, segue f(1{,}6)<0. Portanto há duas raízes distintas em (0,\infty).

Passo 3

Para obter as raízes explicitamente, rearranjamos a equação procurando uma forma que permita uso da função de Lambert W. Começamos por isolar o logaritmo e exponenciar:
5x-8\ln x=8 \quad\Rightarrow\quad \ln x=\frac{5x-8}{8}.
Aplicando exponencial:
x=\exp\!\left(\frac{5x-8}{8}\right).
Multiplicar ambos os lados por \exp\!\left(-\dfrac{5x}{8}\right):
x\exp\!\left(-\frac{5x}{8}\right)=\exp(-1).
Agora fazemos a substituição y=-\dfrac{5x}{8}. Então x=-\dfrac{8}{5}y e a equação vira
y e^{y}=-\frac{5}{8}e^{-1}=-\frac{5}{8e}.
Por definição da função de Lambert W, as soluções y são as soluções de y=W(z) para z=-\dfrac{5}{8e}. Portanto as soluções para x são
x=-\frac{8}{5}\,W\!\left(-\frac{5}{8e}\right).
Observação sobre ramos: para z\in\left(-\dfrac{1}{e},0\right) (e aqui z=-\dfrac{5}{8e} pertence a esse intervalo porque -\dfrac{5}{8e}\approx-0{,}2298 e -\dfrac{1}{e}\approx-0{,}3679), existem duas soluções reais para W: W_0(z) (ramo principal, com W_0(z)\ge-1) e W_{-1}(z) (ramo inferior, com W_{-1}(z)\le-1). Isso explica as duas raízes positivas que já previmos pela análise de f.
Então as duas soluções exatas (em termos de W) são
x=-\frac{8}{5}\,W_0\!\left(-\frac{5}{8e}\right) \quad\text{e}\quad x=-\frac{8}{5}\,W_{-1}\!\left(-\frac{5}{8e}\right).

Passo 4

Agora vamos obter aproximações numéricas (úteis para a prova) para cada ramo. Primeiro calculamos o argumento
z=-\frac{5}{8e}\approx -0{,}229799.
Encontrar y=W(z) é resolver y e^{y}=z. Usaremos o método de Newton (fácil de aplicar à mão algumas iterações) com a fórmula de iteração
y_{n+1}=y_n-\frac{y_n e^{y_n}-z}{(y_n+1)e^{y_n}}.
Cálculo para o ramo principal W_0 (nesse ramo y está entre -1 e 0):
  • Escolha inicial y_0=-0{,}23.
  • Iteração 1: y_1\approx-0{,}3072.
  • Iteração 2: y_2\approx-0{,}31498.
    Converge rapidamente para
W_0\!\left(-\frac{5}{8e}\right)\approx -0{,}31498.
Então
x_1=-\frac{8}{5}W_0\!\left(-\frac{5}{8e}\right)\approx -\frac{8}{5}\cdot(-0{,}31498)\approx 0{,}5040.
Verificação rápida (plugando na equação): \;5\cdot0{,}5040-8\ln(0{,}5040)\approx8{,}000 (aproximação bem próxima de 8).

Passo 5

Cálculo para o ramo W_{-1} (aqui y\le-1):
  • Escolha inicial y_0=-2.
  • Iteração 1: y_1\approx-2{,}3019.
  • Iteração 2: y_2\approx-2{,}3071.
    Converge para
W_{-1}\!\left(-\frac{5}{8e}\right)\approx -2{,}3071.
Então
x_2=-\frac{8}{5}W_{-1}\!\left(-\frac{5}{8e}\right)\approx -\frac{8}{5}\cdot(-2{,}3071)\approx 3{,}6914.
Verificação rápida: \;5\cdot3{,}6914-8\ln(3{,}6914)\approx8{,}000 (novamente consistente).

Passo 6

Resumo e interpretação final (de forma motivadora): a equação transcendental tem duas soluções positivas porque a função associada tem um único mínimo negativo; podemos expressar as soluções em termos da função de Lambert W e obter aproximações numéricas com Newton em poucas iterações. Isso é um padrão útil: quando aparece x e \ln x misturados, exponenciar e buscar a forma y e^{y}= \text{const} é a chave para usar W.

Resposta

x=-\dfrac{8}{5}\,W_0\!\left(-\dfrac{5}{8e}\right)\approx0,5040
x=-\dfrac{8}{5}\,W_{-1}\!\left(-\dfrac{5}{8e}\right)\approx3,6914

Exercícios relacionados