Se \operatorname{sen}(\theta)=0,6, determine \cos (\theta) e \operatorname{tg}(\theta).

Passo 1

O enunciado dá a informação \operatorname{sen}(\theta)=0,6 e pede para determinar \cos(\theta) e \operatorname{tg}(\theta).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • \operatorname{sen}(\theta)=0,6.
  • Nada mais é dito sobre em que quadrante está \theta, logo pode haver ambiguidade no sinal de \cos(\theta) e de \operatorname{tg}(\theta).

Passo 2

Vou usar a identidade pitagórica que relaciona seno e cosseno. A identidade é
\operatorname{sen}^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1.
Explicando a fórmula: \operatorname{sen}^2(\theta) significa (\operatorname{sen}(\theta))^2 e \cos^2(\theta) significa (\cos(\theta))^2. Essa igualdade vale para todo ângulo \theta. A partir dela podemos isolar \cos^2(\theta):
\cos^2(\theta)=1-\operatorname{sen}^2(\theta).

Passo 3

Substituo o valor dado de \operatorname{sen}(\theta). Como \operatorname{sen}(\theta)=0,6,
\operatorname{sen}^2(\theta)=(0,6)^2=0,36.
Portanto
\cos^2(\theta)=1-0,36=0,64.

Passo 4

Agora extraio a raiz quadrada para obter \cos(\theta). De \cos^2(\theta)=0,64 segue
\cos(\theta)=\pm\sqrt{0,64}=\pm 0,8.
Explicando o \pm: ao tirar raiz quadrada de um quadrado sempre aparecem duas soluções, positiva e negativa. Qual das duas é a correta depende do quadrante onde \theta está.

Passo 5

Determinar o sinal de \cos(\theta): como \operatorname{sen}(\theta)=0,6>0, \theta pode estar
  • no primeiro quadrante (QI), onde \operatorname{sen}>0 e \cos>0, então \cos(\theta)=0,8; ou
  • no segundo quadrante (QII), onde \operatorname{sen}>0 e \cos<0, então \cos(\theta)=-0,8.
Sem informação adicional sobre o quadrante, devemos apresentar as duas possibilidades.

Passo 6

Definição e cálculo da tangente: a tangente é a razão entre seno e cosseno,
\operatorname{tg}(\theta)=\frac{\operatorname{sen}(\theta)}{\cos(\theta)}.
Substituindo \operatorname{sen}(\theta)=0,6 e as duas possibilidades para \cos(\theta):
  • Se \cos(\theta)=0,8 (QI), então
\operatorname{tg}(\theta)=\frac{0,6}{0,8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}=0,75.
  • Se \cos(\theta)=-0,8 (QII), então
\operatorname{tg}(\theta)=\frac{0,6}{-0,8}=-\frac{3}{4}=-0,75.

Passo 7

Exemplo numérico para fixar a intuição: \operatorname{arcsen}(0,6)\approx 36,87^\circ.
  • Para \theta\approx 36,87^\circ (QI): \cos(\theta)=0,8 e \operatorname{tg}(\theta)=0,75.
  • Para \theta\approx 180^\circ-36,87^\circ=143,13^\circ (QII): \cos(\theta)=-0,8 e \operatorname{tg}(\theta)=-0,75.

Resposta

\cos(\theta)=0,8 ou \cos(\theta)=-0,8
\operatorname{tg}(\theta)=0,75 ou \operatorname{tg}(\theta)=-0,75

Exercícios relacionados